双曲线 | 玄数

2012-03-07

hyperbola

上图的曲线是如何得到的?| M1F1 | – | M1F2 |  =  | M2F1 | – | M2F2 |  =  | M3F1 | – | M3F2 | =  …… = 常数

 

1.   双曲线及其标准方程

平面内与两个定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距

 

以经过双曲线两焦点F1、F2 的直线为x轴,线段F1 F2 的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系。设焦点F1、F2 的坐标分别为(–c,0)、(c,0),则焦距为2c。设M(x,y)是双曲线上任意一点,有设点M与F1、F2 的距离的差的绝对值等于2a(2a < 2c),由此可得

| MF1 | – | MF2 | =2a


双曲线

类似椭圆标准方程建立的过程,令 b2 = c2 – a2,就得到了双曲线的标准方程:

双曲线

 

 

2.   双曲线的性质

(1)双曲线关于x轴、y轴原点对称。

(2)双曲线与x轴的有2个交点,叫做双曲线的顶点。线段A1A2 = 2a 叫做双曲线的实轴。双曲线与y轴没有交点,但也把B1(0,–b)、B2(0,b)画在y轴上,B1B2 = 2b叫做双曲线的虚轴

(3)与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比c/a 称为双曲线的离心率:e = c/a

 

双曲线的渐近线

 

 

3.  渐近线

可以把双曲线的标准方程改写为

双曲线

 

当x越来越大,趋于∞时,可得y的极限

双曲线

也就是说,当双曲线的各支向外延伸时,它们分别与两条直线

渐近线

越来越接近,但又永远不相交。把这两条直线叫做双曲线的渐近线(Asymptote)。

双曲线

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