双曲函数 | 玄数

2012-02-18

1.  双曲函数(Hyperbolic Function)

双曲函数(Hyperbolic Function)是由指数函数ex 和e–x 通过运算所产生的函数。

hyperbolic function

双曲函数的名称与读法与三角函数类似,先读双曲(“h”),前三个字母按照三角函数读

sinh x(sh x)—— 双曲正弦(Hyperbolic sine)

cosh x(ch x)—— 双曲余弦(Hyperbolic cosine)

tanh x(th x)—— 双曲正切(Hyperbolic tangent)

coth x —— 双曲余切(Hyperbolic cotangent)

sech x —— 双曲正割(Hyperbolic secant)

csch x —— 双曲余割(Hyperbolic cosecant)

 

 

2. 双曲函数的图像

(1).  sinh x,coth x

 所有双曲函数的定义域都是 x∈R。下图中的紫色点虚线是 ex /2 和 e–x /2

sinh cosh

  •  y = sinh x 是奇函数,y∈R
  • y = cosh x 是偶函数,y∈[1,+∞ )

 

(2).  tanh x

tanh

  • y = tanh x 是奇函数,y∈(–1,1)

 

(3).   coth x,sech x, csch x

coth sech csch

 

 

3.  双曲函数的基本公式

sinh x + cosh x = e x

cosh x – sinh x = e–x

tanh x · coth x = 1

cosh2 x – sinh2 x = 1

tanh2 x + sech2 x = 1

coth2 x – csch2 x = 1

 

sinh (–x) = – sinh x

cosh (–x) = cosh x

sech (–x) = sech x

 

sinh (x + y) = sinh x · cosh y + cosh x · sinh y

sinh (x – y) = sinh x · cosh y – cosh x · sinh y

cosh (x + y) = cosh x · cosh y + sinh x · sinh y

cosh (x + y) = cosh x · cosh y – sinh x · sinh y

 

sinh 2x = 2sinh x · cosh x

cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x = 2cosh2 x – 1 = 2 sinh2 x + 1

 

tanh 2x

双曲函数