国际数学奥林匹克 IMO | 玄数


58th IMO(2017)

1. 对每个整数a0 > 1, 定义数列a0, a1, a2, . . . 如下: 对于任意的n≥ 0,试求满足下述条件的所有a0: 存在一个数A, 使得对无穷多个n, 有an = A.
IMO 2017

 
2. 设R是全体实数构成的集合. 求所有的函数 f : R → R, 使得对于任意实数x 和y, 都有
             f(f(x)f(y)) + f(x + y) = f(xy).

 
3. 一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏. 已知兔子的起始位置A0和猎人的起始位置B0 重合. 在游戏进行n – 1 回合之后, 兔子位于点An-1, 而猎人位于点Bn-1. 在第n 个回合中, 以下三件事情依次发生.
(i) 兔子以隐形的方式移动到一点An, 使得点An-1和点An之间的距离恰为1.
(ii) 一个定位设备向猎人反馈一个点Pn. 这个设备唯一能够向猎人保证的事情是, 点Pn和点An之间的距离至多为1.
(iii) 猎人以可见的方式移动到一点Bn, 使得点Bn-1 和点Bn之间的距离恰为1.
试问, 是否无论兔子如何移动, 也无论定位设备反馈了哪些点, 猎人总能够适当地选择她的移动方式, 使得在109回合之后, 她能够确保和兔子之间的距离至多是100?

 
4. 设R和S是圆Ω上互异两点, 且RS不是直径. 设ℓ是圆Ω在点R处的切线. 平面上一点T满足, 点S是线段RT的中点. J是圆Ω的劣弧RS 上一点, 使得三角形JST的外接圆Γ交ℓ于两个不同点. 记Γ与ℓ的交点中接近R的那个为A. 直线AJ交圆Ω于另一点K. 证明, 直线KT和圆Γ相切.

 
5. 给定整数N≥2. N(N + 1)个身高两两不同的足球队员站成一排. 球队教练希望从这些球员中移走N(N -1) 人, 使得这一排上剩下的2N 名球员满足如下N 个条件:
(1) 他们当中身高最高的两名球员之间没有别的球员,
(2) 他们当中身高第三和第四的两名球员之间没有别的球员,

(N) 他们当中身高最矮的两名球员之间没有别的球员.
证明, 这总是可以做到的.

 
6. 一个本原格点是一个有序整数对(x, y), 其中x 和y 的最大公约数是1. 给定一个有限的本原格点集S, 证明, 存在一个正整数n 和整数a0, a1, . . . , an, 使得对于S 中的每一个(x, y), 都成立:
IMO 2017

 

 

57th IMO(2016)

1. 已知△BCF中,∠B是直角。在直线CF上取点A,使得FA=FB,且F在点A和C之间。取点D,使得DA=DC,且AC是∠DAB的内角平分线。取点E,使得EA=ED,且AD是∠EAC的内角平分线。设M施线段CF的中点。取点X使得AMXE是一个平行四边形(这里AM||EX, AE||MX).
证明:直线BD,FX和ME三线共点。

 
2. 确定所有正整数n, 使得可在一张 n×n 方格表的每一小方格中填入字母I, M, 0之一,满足下列条件:

  • 在每一行及每一列中,恰有三分之一的小方格填入字母I,三分之一的小方格填入字母M, 三分之一的小方格填入字母O; 并且
  • 在每条对角线上,若该对角线上的小方格个数是三的倍数,则恰有三分之一的小方格填入字母I,三分之一的小方格填入字母M, 三分之一的小方格填入字母O。

注:一张 n×n 方格表的行与列按自然的顺序标记为1至n. 由此每个小方格对应于一个正整数对(i,j), 其中1≤i, j≤n. 对n>1, 这张方格表有两类共计4n-2条对角线。一条第一类对角线是由i+j是某个常数的所有小方格(i,j)构成,一条第二类对角线是由i-j是某个常数的所有小方格(i,j)构成。

 
3. 设P = A1A2 … Ak 是平面上的一个凸多边形。顶点A1, A2, …, Ak的纵横坐标均为整数,且都在一个圆上。P的面积记为S. 设n是一个正奇数,满足P的每条边长度的平方是被n整除的整数。
证明:2S是整数,且被n整除。

 
4. 一个由正整数构成的集合称为芳香集,若它至少有两个元素,且其中每个元素都与其他元素中的至少一个元素有公共的素因子。设P(n) = n2 + n + 1. 试问:正整数b最小为何值时能够存在一个非负整数a,使得集合
             { P(a+1), P(a+2), …, P(a+b) }
是一个芳香集?

 
5. 在黑板上写有方程
             (x-1)(x-2) … (x-2016) = (x-1)(x-2) …(x-2016)
其中等号两边各有2016个一次因式。试问:正整数 k 最小为何值时,可以在等号两边擦去这4032个一次因式中的恰好 k 个,使得等号每一边都至少留下一个一次因式,且所得到的方程没有实数根?

 
6. 在平面上有n≥2条线段,其中任意两条线段都交叉,且没有三条线段相交于同一点。杰夫在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上,青蛙面向另一个端点。接着杰夫会拍n-1此手。每当他拍一次手时,每只青蛙都立即向前跳到它所在线段上的下一个交点。每只青蛙自始至终不改变跳跃的方向。杰夫的愿望是能够适当的放置青蛙,使得在任何时刻不会有两只青蛙落在同一个交点上。
(a) 证明:若n是奇数,则杰夫总能实现他的愿望。
(b) 证明:若n是偶数,则杰夫总不能实现他的愿望。

 

 

56th IMO(2015)

1. 我们称平面上一个有限点集S是平衡的,如果对S中任意两个不同的点A,B,都存在S中一点C,满足AC = BC. 我们称S是无中心的,如果对S中任意两个不同的点A,B,C,都不存在S中一点P,满足PA = PB = PC.
(a) 证明:对每个整数n≥3, 均存在一个由n个点构成的平衡点集.
(b) 确定所有的整数n≥3, 使得存在一个由n个点构成的平衡点集且无中心的点集.

 
2. 确定所有三元正整数组(a, b, c), 使得 ab – c, bc – a, ca – b 中的每个数都是2的方幂.
(2的方幂是指形如2n的整数,其中n是一个非负整数)

 
3. 在锐角△ABC中, AB > AC. 设Γ是它的外接圆,H是它的垂心,F是由顶点A处所引高的垂足. M是边BC的中点. Q是Γ上一点,使得∠HQA = 90°, K是Γ上一点,使得∠HKQ = 90°. 已知点A,B,C,K,Q互不相同,且按此顺序排列在Γ上.
证明:△KQH的外接圆和△FKM的外接圆相切.

 
4. 在△ABC中, Ω是其外接圆,O是其外心. 以A为圆心的一个圆Γ与线段BC交于两点D和E,使得B,D,E,C互不相同,并且按此顺序排列在直线BC上. 设F和G是Γ和Ω的两个交点,并且使得点A,F,B,C,G按此顺序排列在Ω上. 设K是△BDF的外接圆和线段AB的另一个交点,设L是△CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.
结束直线FK和GL不相同,且相交于点X. 证明: X在直线AO上.

 
5. 设R施全体实数的几何,求所有的函数f: R→R, 满足对任意实数x,y, 都有
             f(x + f(x+y)) + f(xy) = x + f(x+y) + yf(x)

 
6. 整数序列a1, a2,…满足下列条件:
(i) 对每个整数j≥1, 有1≤aj≤2015
(ii) 对任意整数1≤k<l,有 k + akl + al
证明:存在两个正整数b和N, 使得
IMO 2015
对所有满足n>m≥N的整数m和n均成立.