国际数学奥林匹克 IMO | 玄数


52th IMO(2011)

1. 对任意由4个不同正整数组成的集合A = {a1, a2, a3, a4},记SA = a1 + a2 + a3 + a4,设nA是满足ai + aj (1≤i≤j≤4) 整除SA的数对(i,j)的个数.求所有由4个不同正整数组成的集合A,使得nA达到最大值.

 
2. 设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上.
所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的一条直线l开始,以P为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到S中的另一点,记为点Q.接着这条直线以Q为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到S中的某一点,这样的过程无限持续下去.
证明:可以适当选取S中的一点P,以及过的一条直线l,使得由此产生的“风车”将S中的每一点都无限多次用作旋转中心.

 
3.设f: R→R 是一个定义在实数集上的实值函数,满足对所有实数x,y,都有
             f(x+y) ≤ yf(x) + f(f(x))
证明:对所有实数x≤0,有f(x)=0.

 
4. 给定整数n>0.有一个天平和n个重量分别为20, 21, … ,2n-1的砝码.
现通过n步操作逐个将所有砝码都放上天平,使得在操作过程中,右边的重量总不超过左边的重量.每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码,将其放到天平的左边或右边,直至所有砝码都被放上天平.
求整个操作过程的不同方法个数.

 
5. 设f是一个定义在整数集上取值为正整数的函数,已知对任意两个整数 m,n,差f(m)-f(n)能被f(m-n)整除.
证明:对所有整数m,n,若f(m)≤f(n),则f(n)被f(m)整除.

 
6. 设锐角三角形ABC的外接圆为Γ,l是圆Γ的一条切线.记切线l关于直线BC,CA和AB的对称直线分别为la,lb和lc
证明:由直线la,lb和lc构成的三角形的外接圆与圆Γ相切.

 

 

51th IMO(2010)

1. 求所有的函数f: R → R,使得等式
             f([x]y) = f(x)[f(y)]
对所有x,y∈R 成立.(这里,[z]表示不超过实数z的最大整数.)

 
2. 设三角形ABC的内心是I,外接圆为Γ.直线AI交圆Γ于另一点D.设E是弧BDC上的一点, F是边BC 上的一点,使得
             ∠BAF = ∠CAE < ∠BAC/2.
设 G 是线段IF的中点.证明:直线DG与EI的交点在圆Γ上.

 
3.设是所有正整数构成的集合.求所有的函数g: N → N,使得对所有m,n∈N,
             (g(m) + n)(m + g(n))
是一个完全平方数.

 
4. 设P是三角形ABC内部的一点,直线AP,BP,CP 与三角形ABC 的外接圆Γ的另一个交点分别为K,L,M.圆Γ在点C 处的切线与直线AB相交于点S.假设SC = SP,证明: MK = ML.

 
5. 有6个盒子B1, B2, B3, B4, B5, B6,开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币.每次可以任意选择如下两种方式之一对它们进行操作:
       方式 1:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bj (1≤j≤5),从盒子Bj中取走一枚硬币,并在盒子Bj+1中加入2 枚硬币.
       方式 2:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bk (1≤k≤4),从盒子Bk中取走一枚硬币,并且交换盒子Bk+1(可能是空盒)与盒子Bk+2(可能是空盒)中的所有硬币.
       问: 是否可以进行若干次上述操作,使得盒子B1, B2, B3, B4, B5中没有硬币,而盒子B6中恰好有201020102010枚硬币?(注:abc = a(bc).)

 
6. 设a1, a2, a3,… 是一个正实数数列.假设存在某个固定的正整数s,使得对所有的n>s,有
             an = max{ ak + an-k | 1≤k≤n-1 }
证明: 存在正整数l和 N,l≤s,使得对所有的n≥N 都有 an = al + an-l