国际数学奥林匹克 IMO | 玄数


31th IMO(1990)

1. 弦AB,CD相交于圆内一点E,M是线段EB上的一点,过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。设t=AM/AB,试用t表示EF/EG。

 
2. 设n>=3,考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色,如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上(两段弧中的某一个)包含恰好E中的n个点,就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。

 
3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。

 
4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使
             f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。

 
5. 给定一个初始整数n0 > 1,两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,…:
             a.设B已选择n2k,则A选择n2k+1满足 n2k <= n2k+1 <= n2k2
             b.设A已选择n2k+1,则B选择n2k+2满足 n2k+1/n2k+2 = pr 对某个p及r>=1成立。
若A选到了数1990就获胜;若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0
             (1) A有必胜策略;
             (2) B有必胜策略;
             (3) A,B都没有必胜策略。

 
6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,…,19902(顺序不定)。