国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 2


30th IMO(1989)

1. 试证明集合{1,2,…,1989}可以分拆成117个子集合A1,A2,…,A117 (即这些子集合互不相交且并集为整个集合),满足每个Ai包含17个元素,并且每个Ai中元素之和都相等。

 
2. 锐角△ABC,内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A1,类似定义B1,C1点。设AA1与∠ B,∠C的外交平分线交于A0点,类似定义B0,C0点。
求证:△A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的两倍也是△ABC面积的至少4倍。

 
3. 设n,k是正整数,S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点,对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离。
求证: k<1/2+√2n。
 
4. 凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD+BC,四边形内部有一与直线CD距离为h的点P,并且AP=h+AD,BP=h+BC,
求证:1/√h <= 1/√AD + 1/√BC。
 
5. 试证明对每个正整数n,存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂。

 
6. 设{x1,x1,…,xm} 是{1,2,…,2n}的一个排列,其中n是一个正整数。如果|xi-xi+1|=n对至少 {1,2,…,2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1,x1,…,xm}具有性质P。 试证明对于任意的n,具有性质P的排列都比不具有的多。

 

 

29th IMO(1988)

1. 考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆。P点是小圆上一个固定的点,B使大圆上的动点,BP交大圆于C,过P点作BP的垂线交小圆于A点(如果相切则A=P),
             a.试确定AB2 + BC2 + CA2的所有可能值;
             b.试确定BC中点的轨迹。

 
2. n是正整数, A1, A2, … , A2n+1 都是集合B的子集,假设
             i. 每个Ai 都恰有2n个元素;
             ii. 任何两个不同的 Ai恰有一个公共元素;
             iii. B中的每个元素至少属于两个 Ai
试问对于什么样的n值有办法将B中的元素都标上0或1使得每个 Ai 都恰好包含n个标0的元素。

 
3. 函数 f 定义在正整数集上:f(1) = 1; f(3) = 3; 且对每个正整数 n 有
             f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) – f(n)。
试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个数。

 
4. 试证明满足
             1/(x – 1) + 2/(x – 2) + 3/(x – 3) + … + 70/(x – 70) >= 5/4.
的所有实数 x 的集合是一些互不相交的区间的并集,并且这些区间的长度之和是1988。

 
5. 三角形△ABC, 角∠A是直角,D是BC边上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB, AC于K,L。求证:三角形ABC的面积是三角形AKL的面积的至少两倍。

 
6. a,b都是正整数,且 ab+1整除 a2 + b2. 求证(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方数。

 

 

28th IMO(1987)

1. 设 pn(k) 是集合{1, 2, 3, … , n} 上具有 k 个固定点的排列的个数,求证 k从 0 到 n 对(k pn(k) )的求和是 n!。
[一个集合S的一个排列是从S到它自身的一一映射。元素 i 称为是 f 固定点如果 f(i) = i。]

 
2. 锐角三角形ABC 的内角A的角平分线交BC于 L,交ABC的外接圆于 N,从 L 点向 AB,AC做垂线,垂足分别是 K、M,求证四边形 AKNM的面积与三角形ABC的面积相等。

 
3. x1, x2, … , xn 是实数并且满足x12 + x22 + … + xn2 = 1,求证对每个正整数k >= 2存在不全为0的整数a1, a2, … , an,使得对每个 i当|ai| <= k - 1 时有
             |a1x1 + a2x2 + … + anxn| <= (k - 1)√n/(kn-1)。

 
4. 求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f满足对所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。

 
5. n是大于或等于3的整数,求证存在一个由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一个面积为有理数的非退化的三角形。

 
6. n是大于或等于2的整数,如果对所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素数,则当0<=k<=n-2时,k2 + k + n 都是素数。

 

 

27th IMO(1986)

1. d是不为2,5,13的正整数,试证明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。

 
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0,当s>=4时定义 As = As-3 ,现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3 …: Pk+1 是 Pk 绕 Ak+1 顺时针旋转120度得到的点(k = 0, 1, 2,…)。如果 P1986 = P0,求证A1A2A3是等边三角形。

 
3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数,使这5个整数之和是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是x,y,z,如果y < 0则执行下述操作:将x,y,z分别替换为x + y, -y, z + y。重复执行这样的操作直到这5个顶点数中至少有一个是负值。试问能否经过有限步之后操作结束。
 
4. O是正n(n >= 5)边形的中心,设 A, B 是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合,现用如下的方式移动三角形XYZ:保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。

 
5. 试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f,使其满足f(2) = 0;当 0<= x <2时f(x)不等于0;对所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。
 
6. 给定平面上的一个有限点集,每个点的坐标都是整数,问有没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何一条平行于坐标轴(两个坐标轴中的任何一个)的直线 L上的红点和白点的个数之差不大于1?

 

 

26th IMO(1985)

1. 圆内接四边形ABCD,现有一圆其圆心在边AB上并于其他三边相切,求证AD + BC = AB.

 
2. 设 k < n 时互素的两个正整数。将集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每个数都染成蓝色或白色,保证 i和n-i的颜色相同,对于不等于k的i其颜色又与|i-k|的颜色相同。求证:M中所有数的颜色都相同。
 
3. P(x) = a0 + a1x + … + akxk 是整系数多项式,设其中系数为奇数的个数为o(P)。对于i = 0, 1, 2, … ,记 Qi(x) = (1 + x)i。求证如果i1, i2, … , in都是整数并满足0 <= i1 < i2 < ... < in,则有
             o(Qi1 + Qi2 + … + Qin) >= o(Qi1).

 
4. 集合M由1985个不同的正整数组成,且每个数都有一个大于23的素因子,求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。

 
5. 圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C,并与AB,BC分别交于不同的两点K、N,三角形ABC的外接圆和三角形KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M,求证角OMB是直角。

 
6. 对于任何一个实数 x1,可通过递推式
             xn+1 = xn(xn + 1/n)
构造序列 x1, x2, …,求证存在唯一的一个x1 满足对所有的n都有 0 < xn < xn+1 < 1 成立。