国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 2


55th IMO(2014)

1. 设a0 < a1 < a2< … 是一个无穷正整数列. 证明: 存在惟一的整数n ≥ 1使得
2014 IMO

 
2. 设n≥2是一个整数. 考虑由n2个单位正方形组成的一个n×n 棋盘. 一种放置n个棋子“车”的方案被称为是和平的, 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”. 求最大的正整数k, 使得对于任何一种和平放置n个“车”的方案, 都存在一个k×k的正方形, 它的k2个单位正方形里都没有“车”.

 
3. 在凸四边形ABCD中∠ABC = ∠CDA = 90◦. 点H是A向BD引的垂线的垂足. 点S和点T分别在边AB和边AD上, 使得H在三角形SCT内部, 且
             ∠CHS − ∠CSB = 90°, ∠THC − ∠DTC = 90°
证明: 直线BD和三角形TSH的外接圆相切.

 
4. 点P和Q在锐角三角形ABC的边BC上, 满足∠PAB = ∠BCA 且 ∠CAQ = ∠ABC. 点M和N分别在直线AP和AQ上, 使得P是AM的中点, 且Q是AN的中点. 证明: 直线BM和CN的交点在三角形ABC的外接圆上.

 
5. 对每一个正整数n, 开普敦银行都发行面值为 1/n 的硬币. 给定总额不超过 99+1/2 的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同) , 证明可以把它们分为至多100组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是1.

 
6. 平面上的一族直线被称为是处于一般位置的, 如果其中没有两条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域.
证明: 对于充分大的n和任意处于一般位置的n条直线, 我们都可以把其中至少√n条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的.
注: 如果你的答卷上证明的是c√n(而不是√n)的情形, 那么将会根据常数c的值给分.

 

 

54th IMO(2013)

1. 证明对于任意一对正整数k 和n, 都存在k 个(不必不相同的) 正整数m1, m2, … mk, 使得
IMO 2013

 
2. 平面上的4027 个点称为是一个哥伦比亚式点集, 如果其中任意三点不共线, 且有2013个点是红色的, 2014个点是蓝色的. 在平面上画出一组直线, 可以将平面分成若干区域. 如果一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件, 我们就称这是一个好直线组:

  • 这些直线不经过该哥伦比亚式点集中的任何一个点;
  • 每个区域中都不会同时出现两种颜色的点.

求k的最小值, 使得对于任意的哥伦比亚式点集, 都存在由K条直线构成的好直线组.

 
3. 设三角形ABC 的顶点 A 所对的旁切圆与边BC 相切于点A1 . 类似地, 分别用顶点B和顶 C所对的旁切圆定义CA 边上的点B1 和AB 边上的点C1. 假设三角形A1B1C1 的外接圆圆心在三角形ABC 的外接圆上. 证明:三角形ABC 是直角三角形.
三角形ABC 的顶点A 所对的旁切圆是指与边BC 相切,并且与边AB, AC 的延长线相切的圆.顶点B,C 所对的旁切圆可类似定义.

 
4. 设三角形ABC 是一个锐角三角形, 其垂心为H, 设W 是边BC 上一点, 与顶点B,C 均不重合. M和N分别是过顶点B和C的高的垂足. 记三角形BWN的外接圆为ω1, 设X是ω1上一点, 且WX是ω1 的直径. 类似地, 记三角形CWM 的外接圆为ω2, 设Y是ω2 上一点, 且WY 是ω2 的直径. 证明: 点X, Y 和H 共线.

 
5. 记Q>0 是所有正有理数组成的集合. 设函数f : Q > 0 → R 满足如下三个条件:
(i) 对所有的x; y∈Q > 0, 都有f(x)f(y) ≥ f(xy);
(ii) 对所有的x; y∈Q > 0, 都有f(x + y) ≥ f(x) + f(y);
(iii) 存在有理数a > 1, 使得f(a) = a.
证明: 对所有的x∈Q > 0, 都有f(x) = x.

 
6. 设整数n ≥ 3 , 在圆周上有n + 1个等分点. 用数0, 1, … n 标记这些点, 每个数字恰好用一次. 考虑所有可能的标记方式; 如果一种标记方式可以由另一种标记方式通过圆的旋转得到, 那么认为这两种标记方式是同一个. 一种标记方式称为是漂亮的, 如果对于任意满足a + d = b + c 的四个标记数a < b < c < d, 连接标a 和d的点的弦与连接标b和c的点的弦都不相交.
设M是漂亮的标记方式的总数, 又设N是满足 x + y ≤ n , 且gcd(x, y) = 1 的有序正整数对(x, y)的个数. 证明:
             M = N + 1

 

 

53th IMO(2012)

1. 设J为三角形ABC顶点A所对旁切圆的圆心. 该旁切圆与边BC相切于点M,与直线AB和AC分别相切于点K和L. 直线LM和BJ相交于点F,直线KM与CJ相交于点G. 设S是直线AF和BC的交点,T是直线AG和BC的交点.
证明:M是线段ST的中点.
(三角形ABC的顶点A所对的旁切圆是指与边BC相切,并且与边AB, AC的延长线相切的圆.)

 
2. 设整数n≥3,正实数a2, a3, …, an 满足a2a3 …an = 1.证明:
imo 2012

 
3. “欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行,游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k和n.
游戏开始时甲先选定两个整数x和N, 1≤ x ≤ N . 甲如实告诉乙N的值,但对x守口如瓶. 乙现在试图通过如下方式的提问来获得关于x的信息: 每次提问,乙任选一个由若干正整数组成的集合S(可以重复使用之前提问中使用过的集合),问甲“x是否属于S ?”. 乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后,甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”,甲可以说谎话,并且说谎的次数没有限制,唯一的限制是甲在任意连续k+1次回答中至少有一次回答是真话.
在乙问完所有想问的问题之后,乙必须指出一个至多包含n个正整数的集合X,若x属于X,
则乙获胜;否则甲获胜. 证明:
             (1)若n ≥ 2k,则乙可保证获胜;
             (2)对所有充分大的整数k,存在整数n≥1.99k,使得乙无法保证获胜.

 
4. 求所有的函数 f:Z→Z,使得对所有满足a+b+c=0的整数a, b, c,都有
             f(a)2 + f(b)2 + f(c)2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a).
(这里Z表示整数集)

 
5. 已知三角形ABC中,∠BCA = 90°,D是过顶点C的高的垂足. 设X是线段CD内部的一点.K是线段AX上一点,使得BK=BC.L是线段BX上一点,使得AL=AC. 设M是AL与BK的交点.
证明: MK = ML.

 
6. 求所有的正整数n, 使得存在非负整数a1, a2, …, an,满足
imo 2012

 

 

52th IMO(2011)

1. 对任意由4个不同正整数组成的集合A = {a1, a2, a3, a4},记SA = a1 + a2 + a3 + a4,设nA是满足ai + aj (1≤i≤j≤4) 整除SA的数对(i,j)的个数.求所有由4个不同正整数组成的集合A,使得nA达到最大值.

 
2. 设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上.
所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S中单独一点P的一条直线l开始,以P为旋转中心顺时针旋转,直至首次遇到S中的另一点,记为点Q.接着这条直线以Q为新的旋转中心顺时针旋转,直到再次遇到S中的某一点,这样的过程无限持续下去.
证明:可以适当选取S中的一点P,以及过的一条直线l,使得由此产生的“风车”将S中的每一点都无限多次用作旋转中心.

 
3.设f: R→R 是一个定义在实数集上的实值函数,满足对所有实数x,y,都有
             f(x+y) ≤ yf(x) + f(f(x))
证明:对所有实数x≤0,有f(x)=0.

 
4. 给定整数n>0.有一个天平和n个重量分别为20, 21, … ,2n-1的砝码.
现通过n步操作逐个将所有砝码都放上天平,使得在操作过程中,右边的重量总不超过左边的重量.每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码,将其放到天平的左边或右边,直至所有砝码都被放上天平.
求整个操作过程的不同方法个数.

 
5. 设f是一个定义在整数集上取值为正整数的函数,已知对任意两个整数 m,n,差f(m)-f(n)能被f(m-n)整除.
证明:对所有整数m,n,若f(m)≤f(n),则f(n)被f(m)整除.

 
6. 设锐角三角形ABC的外接圆为Γ,l是圆Γ的一条切线.记切线l关于直线BC,CA和AB的对称直线分别为la,lb和lc
证明:由直线la,lb和lc构成的三角形的外接圆与圆Γ相切.

 

 

51th IMO(2010)

1. 求所有的函数f: R → R,使得等式
             f([x]y) = f(x)[f(y)]
对所有x,y∈R 成立.(这里,[z]表示不超过实数z的最大整数.)

 
2. 设三角形ABC的内心是I,外接圆为Γ.直线AI交圆Γ于另一点D.设E是弧BDC上的一点, F是边BC 上的一点,使得
             ∠BAF = ∠CAE < ∠BAC/2.
设 G 是线段IF的中点.证明:直线DG与EI的交点在圆Γ上.

 
3.设是所有正整数构成的集合.求所有的函数g: N → N,使得对所有m,n∈N,
             (g(m) + n)(m + g(n))
是一个完全平方数.

 
4. 设P是三角形ABC内部的一点,直线AP,BP,CP 与三角形ABC 的外接圆Γ的另一个交点分别为K,L,M.圆Γ在点C 处的切线与直线AB相交于点S.假设SC = SP,证明: MK = ML.

 
5. 有6个盒子B1, B2, B3, B4, B5, B6,开始时每个盒子中都恰好有一枚硬币.每次可以任意选择如下两种方式之一对它们进行操作:
       方式 1:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bj (1≤j≤5),从盒子Bj中取走一枚硬币,并在盒子Bj+1中加入2 枚硬币.
       方式 2:选取一个至少有一枚硬币的盒子 Bk (1≤k≤4),从盒子Bk中取走一枚硬币,并且交换盒子Bk+1(可能是空盒)与盒子Bk+2(可能是空盒)中的所有硬币.
       问: 是否可以进行若干次上述操作,使得盒子B1, B2, B3, B4, B5中没有硬币,而盒子B6中恰好有201020102010枚硬币?(注:abc = a(bc).)

 
6. 设a1, a2, a3,… 是一个正实数数列.假设存在某个固定的正整数s,使得对所有的n>s,有
             an = max{ ak + an-k | 1≤k≤n-1 }
证明: 存在正整数l和 N,l≤s,使得对所有的n≥N 都有 an = al + an-l