国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 2


35th IMO(1994)

1. m和n都是正整数,a1,a2,…,am是{1,2,…,n}中不同的数,只要有ai +aj≤ n(i,j可能相同)那么就有某个k使ai+aj = ak
求证(a1+ … +am)/m ≥ (n+1)/2。

 
2. △ABC是等腰三角形,AB=AC,M是BC的中点,O是线AM上的点且OB⊥AB,Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点,E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。
求证:OQ⊥EF当且仅当QE=QF。

 
3. 对任何正整数k,定义f(k)为集合{k+1,k+2,…,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数,
求证对于每个正整数m,存在至少一个k使f(k)=m;并求出使得恰有一个k的所有m值。

 
4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数。

 
5. S是所有大于-1的实数集,试找出所有的从 S 到 S的函数f 满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1<x<0和x>0,f(x)/x使严格递增的。

 
6. 试证明存在满足下列性质的正整数集合A:对任何由素数构成的无限集S,都有k≥2以及两个正整数m,n,m ∈A, n不∈A,m和n都是S中k个不同元素的乘积。

 

 

34th IMO(1993)

1. 设f(x)=xn+5xn-1+3,其中n>1是一个整数。
求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。

 
2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB = ∠ACB+90°,AC·BD = AD·BC,
             a. 计算(AB·CD)/(AC·BD);
             b. 求证△ACD,△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直。

 
3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子(每个小方格上放着一个棋子),游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而跳到一个空格子上去,并同时取走所跨越过的棋子。试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。

 
4. 对平面上的三个点P,Q,R,定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P,Q,R共线当然有 m(PQR)=0 )。
求证对任何点A,B,C,X有 m(ABC) ≤ m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。

 
5. 问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n对所有n,并且 f(n<f(n+1))?

 
6. 有n>1盏灯L0,L1,…,Ln-1绕成一圈,为方便Ln+k也表示Lk。 一盏灯只有开或关两个状态,初始时刻它们全是开着的,依次执行步骤s0,s1,…,:在步骤si, 如果Li-1点燃,就关掉Li,否则什么都不做。试证明:
             a. 存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着;
             b. 若n=2k,则可使M(n)=n2-1;
             c. 若n=2k+1,则可使M(n)=n2-n+1。

 

 

33th IMO(1992)

1. 试找出所有的整数a,b,c满足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。

 
2. 找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数f使得对所有x,y都有
             f(x2+f(y)) = y+f(x)2

 
3. 空间中有9个点,无4点共面,每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段,试找出最小的n使得,只要恰好有n条线段被染色,这些染色的线段一定包含一个同色三角形(即三角形的三边被染上相同的颜色)。

 
4. L是圆Γ的一条切线,M是L上的一点,试找出所有这样的点P的轨迹:存在L上的关于M对称的两点Q,R,△PQR的内切圆是Γ。

 
5. 设S是三维空间中的一个有限点集, 集合Sx,Sy,Sz分别是S在平面yz,zx,xy上的投影,
             求证:|S|2<=|Sx|·|Sy|·|Sz|。   其中|A|表示集合A的元素个数。
[注:一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。]

 
6. 对正整数n,S(n)是满足如下条件最大的整数:对每个正整数k<= S(n),n2都可写成k个完全平方数的和。

  • a. 求证对每个n>=4有S(n)<=n2-14;
  • b. 试找出一个整数n使得S(n)=n2-14;
  • c. 试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n2-14。

 

 

32th IMO(1991)

1. 设I是△ABC的内心,∠A,∠B,∠C的交平分线分别交对边于A’,B’,C’点,求证:
32th IMO(1991)

 
2. 设n>6是一个整数,a1,a2,…,ak 都是小于n的正整数并且与n互素。如果a2-a1 = a3-a2 = … = ak-ak-1,求证,n是质数或者是2的幂次方。

 
3. 试找出最小的整数n使得每一个S的n元子集都包含5个两两互素的数。

 
4. 设G是一个有k条边的连通图,试证明可是对这些边编号1,2,…,k使得对于每个属于两条或两条以上的边的顶点, 从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。
注:一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段(称为边)组成。 每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,…, vm=y 使得vi,vi+1(0<=i<m)之间都有一条边,则称这个图是连通的。
 
5. X是△ABC内部中的一个点,试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30°。

 
6. 任意给定一个实数a>1,试构造一个有界的无限序列x0,x1,x2
使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。
注:一个无限实数序列x0,x1,x2 … 是有界的如果存在一个常数C使得|xi| 

 

31th IMO(1990)

1. 弦AB,CD相交于圆内一点E,M是线段EB上的一点,过E点与△DEM外接圆的切线分别交BC,AC于F,G。设t=AM/AB,试用t表示EF/EG。

 
2. 设n>=3,考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色,如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上(两段弧中的某一个)包含恰好E中的n个点,就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。

 
3. 试找出所有大于1的正整数n满足(2n+1)/n2也是整数。

 
4. 试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使
             f(xf(y))=f(x)/y 对任何x,y都成立。

 
5. 给定一个初始整数n0 > 1,两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1,n2,n3,…:
             a.设B已选择n2k,则A选择n2k+1满足 n2k <= n2k+1 <= n2k2
             b.设A已选择n2k+1,则B选择n2k+2满足 n2k+1/n2k+2 = pr 对某个p及r>=1成立。
若A选到了数1990就获胜;若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n0
             (1) A有必胜策略;
             (2) B有必胜策略;
             (3) A,B都没有必胜策略。

 
6. 求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,22,…,19902(顺序不定)。