国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 3


50th IMO(2009)

1. 设n是一个正整数,a1, a2 , … , ak (k ≥ 2)是集合{1,…, n}中的互不相同的整数,使得对于i =1,…, k − 1,都有 n 整除 ai (ai+1 – 1) .
证明:n 不整除 ak (a1 – 1).

 
2. 设 O 是三角形ABC 的外心. 点 P 和 Q 分别是边 CA 和 AB 的内点. 设K,L 和M 分别是线段BP,CQ和PQ的中点,Γ是过点K,L 和 M 的圆.
若直线PQ与圆Γ相切,证明:OP = OQ.

 
3. 设s1, s2, s3 … 是一个严格递增的正整数数列,使得它的两个子数列
             ss1, ss2, ss3 和  ss1+1, ss2+1, ss3+1 都是等差数列.
证明:数列本身也是一个等差数列.

 
4. 在三角形ABC中,AB = AC,∠CAB 和∠ABC 的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和 E. 设 K是三角形ADC的内心. 若∠BEK = 45°,求∠CAB所有可能的值.

 
5. 求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数f:对所有正整数a 和b,都存在一个以 a, f (b) 和 f (b + f (a) −1)为三边长的非退化三角形.(称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线.)

 
6. 设a1, a2 , … , an 是互不相同的正整数. M是有 n−1 个元素的正整数集,且不含数 s = a1 + a2 + … + an. 一只蚱蜢沿着实数轴从原点0开始向右跳跃n 步,它的跳跃距离是a1, a2 , … , an 的某个排列.
证明:可以选择一种排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集M中.

 

 

49th IMO(2008)

1. 已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1, A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1, B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2. 证明:六点A1, A2, B1, B2,C1,C2共圆.

 
2.(a)设实数x,y,z 都不等于1,满足xyz=1,求证:
2008 IMO
(b)证明:存在无穷多组三元有理数组(x,y,z),x,y,z 都不等于1,且xyz=1,使得上述不等式等号成立.

 
3. 证明:存在无穷多个正整数n,使得n2+1有一个大于2008 IMO的质因子.

 
4. 求所有的函数f:(0, +∞)→(0, +∞), 满足对所有的正实数w,x,y,z,wx=yz,都有
2008 IMO

 
5. 设n和k是正整数,k≥n,且k−n是一个偶数. 2n 盏灯依次编号为1,2,…,2n,每一盏灯可以“开”和“关”.开始时,所有的灯都是“关”的.对这些灯可进行操作,每一次操作只改变其中的一盏灯的开关状态(即“开”变成“关”,“关”变成“开”),我们考虑长度为k的操作序列,序列中的第i项就是第i次操作时被改变开关状态的那盏灯的编号.
设 N 是k次操作后使得灯1,…,n 是“开”的,灯n+1,…,2n 是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数.
设 M 是k次操作后使得灯1,…,n 是“开”的,灯n+1,…,2n 是“关”的,但是灯n+1,…,2n 始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数.求比值N/M.

 
6. 在凸四边形ABCD中,BA≠BC. ω1和ω2 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆.假设存在一个圆ω与射线BA相切(切点不在线段BA上),与射线BC相切(切点不在线段BC上),且与直线AD和直线CD都相切. 证明:圆ω1和ω2的两条外公切线的交点在圆ω上.

 

 

48th IMO(2007)

1. 给定实数a1, a2, … an. 对每个i (1≤i≤n), 定义:
             |di = max{ aj: 1≤j≤I } – min{ aj: i≤j≤n }, 且令 d = max{ ai: 1≤i≤n }
(a)证明:对任意实数 x1≤x2≤ … ≤xn, 有
             max{ |xi – ai|: 1≤i≤n } ≥ d/2           (*)
(b)证明:存在意实数 x1≤x2≤ … ≤xn使得(*)中的等号成立

 
2. 设A, B, C, D, E五点中, ABCD是一个平行四边形,  BCED是一个圆内接四边形. 设l是通过A的一条直线,l与线段DC交于点F ( F是线段DC的内点 ), 且l与直线BC交于点 若 EF = EG = EC, 求证: l是∠DAB的角平分线.

 
3. 在一次数学竞赛中, 有一些参赛选手是朋友. 朋友关系是相互的. 如果一群参赛选手中的任何两人都是朋友, 我们就称这一群选手为一个”团”(特别地, 人数少于2的一群也是一个团).
已知在这次竞赛中, 最大的团 (人数最多的团) 的人数是一个偶数, 证明: 我们总能把参赛选手分配到两个教室, 使得一个教室中最大的人数等于另一个教室中的最大团的人数.

 
4. 在△ABC中, ∠BCA的角平分线与△ABC的外接圆交于点R, 与边BC的垂直平分线交于点P, 与边AC的垂直平分线交于点 设K与L分别是边BC和AC的中点. 证明: △RPK和△RQL的面积相等.

 
5. 设a与b为正整数. 已知4ab – 1整除(4a2 – 1)2, 证明: a = b.

 
6. 设n是一个正整数. 考虑
             S = { (x, y, z): x, y, z∈{ 0, 1, … n }, x + y + z > 0 }
这样一个三维空间中具有 (n+1)3 – 1 个点的集合. 问: 最少要多少个平面,它们的并集才能包含S, 但不含(0, 0, 0).

 

 

47th IMO(2006)

1. 设I 为ΔABC的内心,P是ΔABC内部的一点,满足∠PBA+∠PCA = ∠PBC +∠PCB.
证明: AP ≥ AI , 并说明等号成立的充分必要条件是P = I .

 
2. 设P为正2006边形. 如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分,每部分都包含P的奇数条边,那么该对角线称为“好边”. 规定P的每条边均为“好边”.
已知 2003 条在P 内部不相交的对角线将P 分割成若干三角形.试问在这种分割之下,最多有多少个有两条“好边”的等腰三角形.

 
3. 求最小的实数M ,使得对所有的实数a, b和c,有
             |ab(a2 − b2) + bc(b2 − c2) + ca(c2 − a2)| ≤ M(a2 + b2 + c2)2.

 
4. 求所有的整数对(x, y),使得
             1 + 2x + 22x+1 = y2.

 
5. 设P(x)为n次(n>1)整系数多项式, k 是一个正整数. 考虑多项式Q(x) = P(P(…P(P(x))…)) , 其中P出现k次. 证明:最多存在n个整数t ,使得Q(t) = t.

 
6. 对于凸多边形P的任意边b,以b为边,在P内部作一个面积最大的三角形. 证明: 对P的每条边,按上述方法所得三角形的面积之和至少是P的面积的2 倍.

 

 

46th IMO(2005)

1. 在正△ABC 的三边上依下列方式选取6 个点:在边BC 上选取点A1、A2,在边CA上选取点B1、B2,在边AB 上选取点C1、C2,使得凸六边形 A1A2B1B2C1C2 的边长都相等. 证明:直线A1B2 、B1C2、C1A2共点.

 
2. 设a1, a2 , ⋯是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数. 如果对每一个正整数n ,整数a1, a2 , ⋯,an 被n 除后所得到的n 个余数互不相同,证明:每个整数恰好在数列a1, a2, ⋯ 中出现一次.

 
3. 正实数x 、y 、z 满足xyz ≥1. 证明:
第46届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题

 
4. 数列a1, a2, ⋯定义如下:
             an = 2n + 3n + 6n – 1 ( n = 1 ,2 ,3 , ⋯) .
求与此数列的每一项都互质的所有正整数.

 
5. 给定凸四边形ABCD , BC = AD ,且BC不平行于AD. 设点E 和F 分别在边BC 和AD 的内部,满足B E = DF. 直线AC 和BD 相交于点P ,直线BD 和EF 相交于点Q ,直线EF 和AC 相交于点R. 证明:当点E 和F 变动时, △PQR 的外接圆经过除点P 外的另一个定点.

 
6. 某次数学竞赛共有6 道试题,其中任意两道试题都被超过2/5的参赛者答对了. 但没有一个参赛者能答对所有的6道试题. 证明:至少有两个参赛者都恰好答对了5 道试题.