国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 4


25th IMO(1984)

1. 求证 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y, z 是非负实数并满足x + y + z = 1.
 
2. 试找出所有的正整数对(a,b)满足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)7 – a7 – b7 可被77整除。

 
3. 给定平面上的点O、A。平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个。设X是平面上一给定点,以O为圆心的圆C(X)的半径是 OX + ( ∠ AOX)/OX,其中角∠ AOX是用弧度衡量(即范围是[0, 2л) ),求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上。

 
4. 凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切,求证:AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的。

 
5. 设 d 是平面上一凸 n 边形(n>3)的所有对角线的长度之和,p 是它的周长。求证:
             n – 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2, 其中[x]表示不超过x的最大整数。
 
6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且 ad = bc. 证明若a + d = 2k 及 b + c = 2m 对某k、m成立,则
             a = 1.

 

 

24th IMO(1983)

1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f,使其满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有x, y成立,并且当 x 趋向于无穷大时 f(x) 趋向于0.

 
2. 圆C1、C2 的圆心分别是O1 、O2,它们相交于两个不同的点,设A是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切C1、 C2 分别于点 P1、P2,另外一条公切线分别切C1、 C2 于点 Q1、Q2,再设M1、M2分别是P1Q1和P2Q2的中点,求证:∠O1AO2 = ∠ M1AM2

 
3. a , b, c是正整数,并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数。求证 2abc – ab – bc – ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整数,其中x, y, z是非负整数。

 
4. 等边三角形ABC,设集合E是该三角形的所有边界点(即边AB,BC,CA),任意将E分拆成两个不相交的子集合(它们的并集是E),试证明这两个集合中的至少一个包含有三点构成一直角三角形。

 
5. 是否可能存在小于或等于105的1983个不同的正整数,任何三个都不构成一等差数列。

 
6. 设a,b,c是一个三角形的三边长,求证
             a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) >= 0
并判断等号何时成立。

 

 

23th IMO(1982)

1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数,f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333,并对所有m,n有f(m+n) – f(m) – f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。

 
2. A1A2A3是不等腰三角形,其三边为a1, a2, a3,其中 ai 是角 Ai 的对边, 设 Mi 是边 ai 的中点,Ti 是三角形的内切圆在边 ai 上的切点,记 Si 为点 Ti 关于内角 Ai 的角平分线的对称点,求证线M1S1, M2S2 和M3S3共点。

 
3. 考虑无限正实数序列 {xn} 满足x0 = 1 及 x0 >= x1 >= x2 >= … ,
             a. 求证对每个这样的序列都有存在一个n >= 1使得
                           x02/x1 + x12/x2 + … + xn-12/xn >= 3.999.
             b. 试寻找一个这样的序列使其满足
                           x02/x1 + x12/x2 + … + xn-12/xn < 4 对所有n成立。
 
4. n使正整数,求证如果方程 x3 – 3xy2 + y3 = n有关于整数x,y的一个解,则其至少有三个解;当 n = 2891 时再证明这个方程无整数解。

 
5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AM/AC = CN/CE = r,如果B、M、N共线,试求r的值。

 
6. 设S是边长为100的正方形,L是在S内部不自交的系列线段 A0A1, A1A2, A2A3, … , An-1An 并且A0 与 An 不重合。已知对于每一个在S边界上的点P,L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2。求证:L中存在两点X、Y,X与Y的距离不大于1,并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。

 

 

22th IMO(1980)

1. P是三角形ABC内部一点,D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有P点。

 
2. 取r满足1 <= r <= n,并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集,每个子集都有一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证:F(n,r) = (n+1)/(r+1)。
 
3. 设m、n是属于{1, 2, … , 1981}的整数并且满足(n2 – mn – m2)2 = 1。试计算m2 + n2的最大值。

 
4. 设 n>2,问
             a. n为何值时,存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它 n-1个元素最小公倍数的因子?
             b. n为何值时,恰好值存在一个满足条件的集合?

 
5. 三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三角形的内部,并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证:这个三角形的内心、外心、O点三点共线。

 
6. 函数f(x,y),对于任何非负整数x,y都满足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。试计算f(4, 1981)的值。

 

 

21th IMO(1979)

1. m,n是满足下述条件的正整数:
             m/n = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … – 1/1318 + 1/1319.
求证:m可被1979整除。

 
2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形(其顶点即这个棱柱的顶点)必有两边着不同色,求证:上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。

 
3. 平面上的两个圆相交,A是其中一个交点。现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度,同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动,在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。求证:在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。

 
4. 给定一平面k,在这个平面上有一点P,平面外有一点Q,试找出平面k上的所有的点R使得(QP + PR)/QR 为最大值。

 
5. 试求出所有的实数a,使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5满足下列关系式:
             x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a;
             x1 + 23x2 + 33x3 + 43x4 + 53x5 = a2
             x1 + 25x2 + 35x3 + 45x4 + 55x5 = a3

 
6. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点,一只青蛙从A点开始跳动,除了E点外,从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数,求证:
             a2n-1 = 0
             a2n = (2 + √2)n-1/√2 – (2 – √2)n-1/√2