国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 4


45th IMO(2004)

1. △ABC 为锐角三角形,AB ≠ AC;以BC为直径的圆分别交AB和AC于M 和N.记BC中点为O.∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个公共点在BC边上.

 
2. 求所有的实系数多项式f,使得对所有满足 ab + bc + ca = 0的实数a, b, c 有
             f(a–b) + f(b–c) + f(c–a) = 2f(a + b + c).

 
3. 如下图,由6个单位正方形组成一个“钩”状图,图形可旋转和反射。找出所有的能被钩覆盖的m×n的矩形.需满足

  • 矩形覆盖无间隙且没有重叠
  • 钩不覆盖矩形的外部区域

第45届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题

 
4. 设n ≥ 3. t1, t2,…, tn > 0 满足
第45届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题
证明t1, t2,…, tn中随便取3个数都能构成一个三角形.

 
5. 凸四边形ABCD的对角线BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD内一点P满足∠PBC = ∠DBA和∠PDC = ∠BDA. 求证:ABCD是圆的内接四边形当且仅当AP = CP.

 
6. 称一个正整数为“交替的”,如果它的十进表示的任两个连续数位的奇偶性不同. 求所有的正整数n,n的某个倍数是交替的.

 

 

44th IMO(2003)

1. 设A是集合S={1, 2, 3, …, 1000000}的一个101元子集,求证: 存在S中的100个元素T1 ,T2 ,…,T100 使得集合
             Aj={X+Tj | X 属于 A} (j=1,2,…,100)
是两两不交的。

 
2. 求所有的正整数对(a,b),使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。

 
3. 一凸六边形,任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍,求证这个六边行的 每个内角都是120°。

 
4. 圆内接四边形ABCD,从D向分别边BC,CA,AB引垂线,垂足分别为P,Q,R。求证: PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。

 
5. 设n是一个正整数,x1,x2,…,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn,求证:
             a. (Σi,j |xi – xj| )2 ≤ (2/3) (n2 – 1) Σi,j (xi – xj)2
             b.上式等号成立当且仅当x1,x2,…,xn是等差数列。

 
6. 设p是一个素数,求证存在一个素数q使得对每个整数n,np-p不能被q整除。

 

 

43th IMO(2002)

1. 设n是给定的正整数,T是一个集合,其元素是平面上满足x,y是非负整数且x+y<n的点(x,y)。T中的点均被染上红色或蓝色,满足:如果(x,y)是红色,则所有满足x’≤x且y’≤y的点(x’,y’)也都染成红色。如果n个蓝点的横坐标各不相同,则称由这n个蓝点组成的集合为一个X-集;如果n个蓝点的纵坐标各不相同,则称这n个蓝点所组成的集合为Y-集。
求证:X-集的个数和Y-集的个数相同。

 
2. BC为圆O的直径,A为⊙O上的一点,0°< ∠AOB <120°, D是弧AB(不含C的弧)的中点,过O平行于DA的直线交AC 于I,OA的垂直平分线交⊙O于E、F,
求证:I是△CEF的内心。

 
3. 找出所有的正整数对m,n≥3,是的存在无穷多个正整数a,使(am +a-1)/(an +a2-1)为整数。

 
4. 设n为大于1的整数,全部正因数为d1,d2,…,dk, 其中1=d1 < d2 < … < dk=n,
记 D = d1d2 + d2d3 + … + dk-1d1
             a. 求证:D< n2;
             b. 确定所有的n,使得D能整除n2。

 
5. 找出所有从实数集R到R的函数f,使得对所有x,y,z∈R,有
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

 
6. 设Γ1,Γ2,…,Γn是平面上半径为1的圆,其中n≥3,记他们的圆心分别为O1,O2, … ,On。假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切,
求证:              Σi<j 1/OiOj ≤ (n-1)π/4

 

 

42th IMO(2001)

1. △ABC是锐角三角形,其外接圆的圆心是O。X是从A到BC边上垂线的垂足。 已知∠C ≥ ∠B+30°,
求证:∠A + ∠COX < 90°。
 
2. a,b,c是正实数,设a’ = √(a2 + 8bc), b’ = √(b2 + 8ca), c’ = √(c2 + 8ab),
求证: a/a’ + b/b’ + c/c’ ≥ 1。

 
3. 由整数组成的一个21×21的矩阵,其每行每列都至多有6个不同的整数。
求证,存在某个整数出现在至少3行和3列中。

 
4. 设n1, n2, … ,nm是整数,其中m是奇数。x = (x1, x2, …, xm)是1,2,…,m的一个排列,
             f(x) = x1n1 + x2n2 + … + xmnm
求证,存在两个不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。

 
5. △ABC,X在BC上且AX是∠A的角平分线,BY是∠B的角平分线,Y在CA上。已知∠A=60°, AB+BX = AY+YB,试求出所有∠B可能的值。

 
6. K>L>M>N是正整数且KM+LN = (K+L-M+N)(-K+L+M+N)。
求证 KL+MN 是合数。

 

 

41th IMO(2000)

1. 圆 Γ1和圆 Γ2相交于点M和N。设l是圆 Γ1和圆 Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆 Γ1相切于点A,与圆 Γ2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆 Γ1还相交于点C,与圆 Γ2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E;直线AN和CD相交于点P;直线BN和CD相交于点Q。
求证:EP=EQ。

 
2. 设a,b,c是正实数,且满足abc=1。求证:
             (a- 1 + 1/b)(b – 1 + 1/c)(c – 1 + 1/a) ≤ 1。

 
3. 设n≥2为正整数。开始时,在一条直线上有n只跳蚤,且它们不全在同一点。 对任意给定的一个正实数λ,可以定义如下的一种“移动”:
             (1). 选取任意两只跳蚤,设它们分别位于点A和点B,且A位于B的左边;
             (2). 令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C, 使得BC/AB=λ。
试确定所有可能的正实数λ, 使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任意初始位置,总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边。

 
4. 一位魔术师有一百张卡片,分别写有数字1到100. 他把这一百张卡片放入三个盒子里,一个盒子是红色的,一个是白色的,一个是蓝色的。 每个盒子里至少都放入了一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个,再从这两个盒子里各选取一张卡片, 然后宣布这两张卡片上的数字之和。知道这个和之后,魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子。
问共有多少种放卡片的方法,使得魔术总能够成功?(两种方法被认为是不同的,如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子)

 
5. 确定是否存在满足下列条件的正整数n:n恰好能够被2000个互不相同的质数整除,且2n+1能够被n整除。

 
6. 设AH1,BH2,CH3是锐角三角形ABC的三条高线。 三角形ABC的内切圆与边BC, CA, AB分别相切于点T1, T2, T3,设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3, H3H1, H1H2关于直线T2T3, T3T1, T1T2的对称直线。 求证:l1,l2,l3所确定的三角形,其顶点都在三角形ABC的内切圆上。