国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 6


15th IMO(1973)

1. OP1, OP2, … , OP2n+1 是平面上的单位向量,其中点 P1, P1, … , P2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧,求证
             |OP1 + … + OP2n+1| >= 1.

 
2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得,对M中的任何两点A、B,都可以再在M中寻找到两点C、D,而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

 
3. 考虑所有这样的实数a、b使得方程
             x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0
至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。

 
4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷,他的扫雷器的半径是三角形高的一半,士兵从三角形的一个定点出发,试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径?

 
5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合:
             f(x) = ax + b,其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质:

  • 如果f,g都属于G,则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G;
  • 如果f属于G,则 f-1(x) = x/a – b/a 也属于G;
  • 对任何f属于G,存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。

求证:存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

 
6. a1, a2, … , an 是正实数,实数 q 满足0 < q < 1,试求出n格实数 b1, b2, … , bn 使得:
             a. ai < bi ,i = 1, 2, … , n;
             b. q < bi+1/bi < 1/q , i = 1, 2, ... , n-1;
             c. b1 + b2 + … + bn < (a1 + a2 + … + an)(1 + q)/(1 – q).

 

 

14th IMO(1972)

1. 有十个互不相同的二位数,求证必可从中选出两个不相交的子集,使得这两个子集中的元素之和相等。

 
2. 设 n>4, 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。

 
3. m,n是任意非负整数,求证下式是一整数。
(2m)!(2n)! / m!n!(m+n)!

 
4. 试找出下述方程组的所有正实数解:

(x12 – x3x5)(x22 – x3x5) <= 0
(x22 – x4x1)(x32 – x4x1) <= 0
(x32 – x5x2)(x42 – x5x2) <= 0
(x42 – x1x3)(x52 – x1x3) <= 0
(x52 – x2x4)(x12 – x2x4) <= 0

 
5. f、g都是定义在实数上并取值实数的函数,并且满足方程
             f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)g(y),
又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| <= 1 。
 
6. 给定四个不相同的平行平面,求证存在一个正四面体,它的四个定点分别在这四个平面上。

 

 

13th IMO(1971)

1. 令 En = (a1 – a2)(a1 – a3) … (a1 – an) + (a2 – a1)(a2 – a3) … (a2 – an) + … + (an – a1)(an – a2) … (an – an-1). 求证 En >= 0 对于n=3或5成立,而对于其他自然数n>2不成立。

 
2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, … , A9,若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ,求证 P1, P2, … , P9 之中至少有两个具有一共同内点。

 
3. 求证能够找到一个由形式 2n – 3 (n是正整数)的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。

 
4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形,在线段AB上取一内点X,现在BC上取内点Y,CD上取内点Z,AD上内点T。求证:
             a. 如果 ∠DAB+∠BCD ≠ ∠CDA+∠ABC,则没有一条闭路径XYZTX具有最小值;
             b. 如果 ∠DAB+∠BCD = ∠CDA+∠ABC,则有无穷多最短路径XYZTX,它们的长度是 2AC sin(k/2),其中 k=∠BAC+∠CAD+∠DAB。

 
5. 对任何自然数 m ,求证存在平面上一有限点集 S,满足:对S中的每一个点 A,存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。

 
6. 设 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, … , n,是一个方阵,元素 aij都是非负整数。若 i、j使得aij = 0,则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证:该方阵中所有元素之和 大于或等于n2/2。

 

 

12th IMO(1970)

1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点,r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径,q 是AB外旁切圆的半径(即与AB边相切,与CA、CB的延长线上相切的圆),类似的, q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证: r1r2q = rq1q2

 
2. 已知0 ≤ xi < b,i = 0, 1, ... ,n 并且 xn > 0, xn-1 > 0。如果 a>b,xnxn-1…x0 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示,则 xn-1xn-2…x0 表示了 A’在a进制下的表示、B’在b进制下的表示。 求证:A’B < AB'。
 
3. 实数 a0, a1, a2, …满足 1 = a0 <= a1 <= a2 <= ...,并定义
                             bn =Σ(1 – ak-1/ak)/√ak
其中求和是k从1到n。
             a. 求证0 ≤ bn <2;
             b. 设c满足0 ≤c <2,求证可找到an 使得当n足够大时bn > c成立。

 
4. 试找出所有的正整数 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成两个子集合,每个子集合的元素的乘积相等。

 
5. 四面体ABCD,角BDC是直角,D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证:
                                 (AB + BC + CA)2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2).
并问何时等号成立?

 
6. 平面上给定100个点,无三点共线,求证:这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。

 

 

11th IMO(1969)

1. 对任意正整数 n,求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。

 
2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + … + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量,x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0,求证 x1 – x2 是 π 的整数倍。

 
3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5,试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体,其中 k个边长均为 a,其余 6-k个边的长度均为 1。

 
4. 以AB为直径的半圆弧,C是其上不同于A、B的一点,D是C向AB作垂线的垂足。K1是三角形ABC的内切圆, 圆K2 与CD、DA以及半圆都相切,圆K3 与CD、DB及半圆相切。求证:圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公切线。

 
5. 平面上已给定了 n>4个点,无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形,其顶点都是已给点集中的点。

 
6. 给定实数x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2 > z22,求证:
1969 IMO
并给出等号成立的充分必要条件。