国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 7


10th IMO(1968)

1. 求证有且仅有一个三角形,它的边长为连续整数,有一个角是另外一个角的两倍。

 
2. 试找出所有的正整数 n,其各位数的乘积等于 n2 – 10n – 22。

 
3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, … , xn 是满足下述方程组的未知数:
                                 axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,…,n-1;
                                 axn2 + bxn + c = x1
若设 M= (b – 1)2 – 4ac ,求证:
                                 a. 若 M<0,则方程组无解;
                                 b. 若 M=0,则方程组恰有一解;
                                 c. 若 M>0,则方程组不止有一个解。

 
4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。

 
5. 令f是定义在所有实数并取值实数的函数,并且对于某个 a>0及任何 x>0 有
                                 f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]
求证 f 是周期函数,并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。

 
6. 对任何自然数 n,试计算下式的值
                                 [(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + … + [(n+2k)/2k+1] + …
其中[x]表示不超过 x 的最大整数。

 

 

9th IMO(1967)

1. 平行四边形ABCD,边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形,求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是
                                 a ≤ cos A + √3 sin A.

 
2. 若四面体有且仅有一边大于1,求证其体积 ≤ 1/8.

 
3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数,令cs = s(s+1),求证
                                 (cm+1 – ck)(cm+2 – ck) … (cm+n – ck)
可被乘积 c1c2 … cn整除。

 
4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC(即BC边包含A0,CA边包含B0,AB边包含 C0),试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。

 
5. a1, … , a8 是不全为0的实数,令 cn = a1n + a2n + … + a8n ( n = 1, 2, 3, … ),如果数列{ cn }中有无穷多项等于0,试求出所有使 cn=0 的自然数n。

 
6. 在一次运动会中,连续 n 天内(n>1)一共颁发了 m 块奖牌。在第一天,颁发了一块奖牌以及剩下 m-1 个中的 1/7;在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7;依此类推。在最后一天即第 n 天,剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天,一共颁发了多少块奖牌?

 

 

8th IMO(1966)

1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题,25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中,答对B的人数是答对C的人数的两倍,只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中,有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B?

 
2. 三角形ABC,如果,
                                 BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).
则该三角形为等腰三角形。

 
3. 求证:从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。

 
4. 对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x,求证:
                                 1/sin 2x + 1/sin 4x + … + 1/sin 2nx = cot x – cot 2nx.

 
5. ai (i=1,2,3,4)是互不相同的实数,解方程组(i=1,2,3,4)
                                 |ai – a1| x1 + |ai – a2| x2 + |ai – a3| x3 + |ai – a4| x4 = 1。

 
6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M,求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。

 

 

7th IMO(1965)

1. 试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足
                                 2 cos x ≤ | √(1 + sin 2x) – √(1 – sin 2x)| ≤ √2 .

 
2. 如下方程组的系数 aij
                                 a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
                                 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
                                 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
满足:
                                 a. a11、 a22、 a33 是正数,其余是负数;
                                 b. 每个方程中的系数之和是正的。
求证:该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。

 
3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分,并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。试求出 这两部分的体积比。

 
4. 四个实数,它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2,求出这四个数的所有可能值。

 
5. 三角形OAB中的角O是锐角,M是边AB上任意一点,从M向OA、OB边引垂线,垂足分别为P、Q。设三角形OPQ的垂心为,求出当M在AB边上移动时点H的轨迹;若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么?

 
6. 平面上给定了 n>2个点,任何两点之间都有线断相连,这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径,求证:长度为直径的线断至多有n条。

 

 

6th IMO(1964)

1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n – 1 能被 7整除;
  (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。

 
2. 假设a、b、c是某三角形的三边长,求证:
                                 a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c) <= 3abc.
 
3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线,每条切线都在ABC中又切出一个小三角形,再在每个这样的小三角形中作内切圆,求这四个内切圆的面积之和(用a,b,c表示)。

 
4. 十七个人互相通信,每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题,每两个人只讨论一个话题,求证:这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

 
5. 平面上有五个点,任意两点的连线都不平行,也不垂直,现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线,试求出所有这些垂线的交点的最大数目。

 
6. 四面体ABCD的中心是D0 ,分别过A、B、C作 DD0 的平行线,这些线分别交平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0,求证:ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之一;再问如果 D0 为三角形ABC内的任意一点,结果是否仍然成立?