国际数学奥林匹克 IMO | 玄数 | Page 7


5th IMO(1963)

1. 找出下列方程的所有实数根(其中 p是实参数):
                                 √(x2-p)+2√(x2-1) = x.

 
2. 给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角,试求出所有这样的点P的轨迹。

 
3. 在一个 n边形中,所有内角都相等,边长依次是a1 >= a2 >= … >= an
求证:所有边长都相等。

 
4. 设 y是一个参数,试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, … , 5)的所有解 x1, … , x5

 
5. 求证
                                 cos pi/7 – cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

 
6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛,一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中,而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻(例如,C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种)。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样;而且有两对同学(4个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何?

 

 

4th IMO(1962)

1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n:它的最后一位数字是6,如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4倍。

 
2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x:
                                 √(3-x)- √(x+1) > 1/2.

 
3. 正方体 ABCDA’B’C’D’(ABCD、A’B’C’D’分别是上下底)。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形B’C’CB的边界以方向B’C’CBB’运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B’开始运动。求线断XY的中点的轨迹。

 
4. 解方程 cos2x + cos22x + cos23x = 1。

 
5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

 
6. 一个等腰三角形,设R为其外接圆半径,内切圆半径为 r,求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。

 
7. 求证:正四面体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四面体。

 

 

3rd IMO(1961)

1. 设a、b是常数,解方程组
                                 x + y + z = a;   x2 + y2 + z2 = b2;   xy=z2
并求出若使x、y、z是互不相同的正数,a、b应满足什么条件?

 
2. 设a、b、c是某三角形的边,A 是其面积,求证:
                                 a2 + b2 + c2 >= 4√3 A.
并求出等号何时成立。

 
3. 解方程 cosnx – sinnx = 1, 其中n是一个自然数。

 
4. P是三角形ABC内部一点,PA交BC于D,PB交AC于E,PC交AB于F,求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2。

 
5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c,锐角AMB = α,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是
                                 b tan(α/2) <= c < b
又问上式何时等号成立。

 
6. 三个不共线的点A、B、C,平面p不平行于ABC,并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A’, B’, C’, A”, B”, C”设分别是边AA’, BB’, CC’的中点,O是三角形A”B”C”的重心。问,当A’,B’,C’变化时,O的轨迹是什么?

 

 

2nd IMO (1960)

1. 找出所有具有下列性质的三位数 N:N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。

 
2. 寻找使下式成立的实数x:4x2/(1 – √(1 + 2x))2 < 2x + 9

 
3. a、b、c都是实数,已知 cos x的二次方程a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a, b, c作出一个关于 cos 2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当a=4, b=2, c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

 
4. 已知从A、B 引出的高线长度以及从A引出的中线长,求作三角形ABC。

 
5. 正方体ABCDA’B’C’D’(上底面ABCD,下底面A’B’C’D’)。X 是对角线AC上任意一点,Y是B’D’上任意一点。
                                 a. 求 XY 中点的轨迹;
                                 b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z的轨迹。

 
6. 一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积,V2 为圆柱的体积。
                                 (a). 求证:V1 不等于 V2
                                 (b). 求V1/V2 的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

 
7. 等腰梯形ABCD,AB 平行于DC,BC=AD。令AB=a,CD=c,梯形的高为 h。X 点在对称轴上并使得 角BXC、AXD 都是直角。试作出所有这样的X 点并计算X 到两底的距离;再讨论在什么样的条件下这样的X 点确实存在。

 

 

1th IMO (1959)

1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数.

 
2. 设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A,试在以下3种情况下分别求出x的实数解:
                                 (a) A=√2;(b)A=1;(c)A=2

 
3. a、b、c都是实数,已知 cos x的二次方程
                                 a cos2x + b cos x + c = 0,
试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。

 
4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

 
5. 在线段AB上任意选取一点M,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N,
                                 (a.) 求证 AF、BC相交于N点;
                                 (b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S;
                                 (c.) 当M在A与B之间变动时,求线断 PQ的中点的轨迹。

 
6. 两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。