2012-04-13
积分就是极限,微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a,b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢?
上图中左边的红色的函数曲线在 x →∞ 时,函数值 f (x) 也趋于无穷大,微小面积和的极限不存在,不具有可积性;而右边的蓝色的函数曲线在x 时,函数值 f (x) 也趋于0。微小面积和的极限有可能存在。
1. 设函数 f (x) 在区间 [a,+∞] / [ –∞,b] 上连续,如果极限
存在,则称此极限为函数 f (x) 在区间 [a,+∞] / [ –∞,b] 上的反常积分(Improper integral),记作
这时也称反常积分收敛。如果上述极限不存在,则称反常积分发散。
2. 设函数 f (x) 在区间 ( –∞,+∞) 上连续,如果反常积分
都收敛,则称上述两反常积分的和为函数f (x) 在无穷区间 ( –∞,+∞) 上的反常积分,记作
这时也称反常积分收敛,否则称反常积分发散。
3. 运用牛顿-莱布尼兹公式,反常积分存在时可记作
练习:
1. 判定下列反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值
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