反常积分(1)—— 无穷限度反常积分 | 玄数

2012-04-13

积分

积分就是极限,微小面积和的极限。之前研究的积分是在区间 [a,b] 内的。如果让 a →–∞ 或 b →+∞ 时会怎么样呢?

 

积分

上图中左边的红色的函数曲线在 x →∞ 时,函数值 f (x) 也趋于无穷大,微小面积和的极限不存在,不具有可积性;而右边的蓝色的函数曲线在x 时,函数值 f (x) 也趋于0。微小面积和的极限有可能存在。

 

1.  设函数 f (x) 在区间 [a,+∞]  /  [ –∞,b] 上连续,如果极限

反常积分

存在,则称此极限为函数 f (x) 在区间 [a,+∞] /  [ –∞,b] 上的反常积分(Improper integral),记作

反常积分

 

这时也称反常积分收敛。如果上述极限不存在,则称反常积分反常积分发散

 

 

2. 设函数 f (x) 在区间 ( –∞,+∞) 上连续,如果反常积分

反常积分

都收敛,则称上述两反常积分的和为函数f (x) 在无穷区间 ( –∞,+∞) 上的反常积分,记作

反常积分

 

这时也称反常积分反常积分收敛,否则称反常积分发散。

 

 

3.  运用牛顿-莱布尼兹公式,反常积分存在时可记作

反常积分

反常积分(1)—— 无穷限度反常积分