玄数

问： 在一圆内画n条直线，最多可把这个圆分成几个区域？

	n	划分区域数
	1	2 = 1+1
	2	4 = 1+2+1
	3	7 = 1+2+3+1
	4	11 = 1+2+3+4+1
	5	16 = 1+2+3+4+5+1

你可以从上图猜测到：是1加上前n个自然数的和1+(1+n)n/2，但是，你肯定吗？你能证明吗？

当要证明一个表达式在所有自然数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的，有一种方法，叫数学归纳法。

步骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性。在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；

（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立；证明了第二步，就获得了递推的资格，但没有第一步就失去了递推的基础。只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；

（3）下结论：命题对从开始的所有正整数都成立。

用数学符号书写如下：

（1）证明当n取第一个值n₀ (n₀∈N*) 时命题成立

（2）假设 n = k (k≥n₀，k∈N*) 时命题成立，证明n = k + 1时命题也成立

归纳

分类: 数学思维 标签: 数学归纳法