归纳 | 玄数

2014-07-30

问: 在一圆内画n条直线,最多可把这个圆分成几个区域?

  n 划分区域数
n条直线分几个区域 1 2 = 1+1
2 4 = 1+2+1
3 7 = 1+2+3+1
4 11 = 1+2+3+4+1
5 16 = 1+2+3+4+5+1

你可以从上图猜测到:是1加上前n个自然数的和1+(1+n)n/2,但是,你肯定吗?你能证明吗?

当要证明一个表达式在所有自然数范围内是成立的,或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的,有一种方法,叫数学归纳法。

步骤:

(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立;证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性。在第一步中,考察结论成立的最小正整数就足够了,没有必要再考察几个正整数,即使命题对这几个正整数都成立,也不能保证命题对其他正整数也成立;

(2)(归纳递推)假设时命题成立,证明当时命题也成立;证明了第二步,就获得了递推的资格,但没有第一步就失去了递推的基础。只有把第一步和第二步结合在一起,才能获得普遍性的结论;

(3)下结论:命题对从开始的所有正整数都成立。

 

用数学符号书写如下:

(1)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*) 时命题成立

(2)假设 n = k (k≥n0,k∈N*) 时命题成立,证明n = k + 1时命题也成立

归纳

上一篇

下一篇