不等式的基本性质、解不等式 | 玄数

2012-01-23

1.   不等式(Inequality)

用符号 >,≥,<,≤,≠ 连接起来的式子叫做不等式。不等式可以不含未知数,如:3 > 2,–2 < –7;也可以含有未知数,如:x ≥ 4,17x < 51

 

 

2.   不等式的基本性质:

  •  a > b          ←→        a – b > 0,b < a
  •  a > b, b > c         →         a > c
  •  a > b         →          a + c > b + c
  •  a > b, c > 0         →          ac > bc
  •  a > b, c < 0        →        ac < bc
  •  a > b > 0        →         an > bn    ( n∈N, n ≥ 2 )

3.   解不等式

能使不等式成立的x的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集(Solution Set)。

(1)一元一次不等式(Linear Inequality of One Unknown):含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式。

  • 17x < 51,     解得  x < 3
  • –3x ≥ 12,     解得  x ≤ –4

 

(2)一元一次不等式组(System of Linear Inequality of One Unknown):

<1>.

  • 17x < 51                      ①
  • x + 2 > 3x – 8            ②

解①得  x < 3 ; 解②得  x < 5,所以方程组的解是 x < 3

 

<2>.

  • –3x ≥12                      ①
  • 2x +3 > x – 3              ②

 解①得  x ≤ –4 ; 解②得  x > –6,所以方程组的解是 –6 < x ≤ –4

 

<3>.

  • x < –x – 4             ①
  • 5x > 10                  ②

解①得  x < –2 ; 解②得  x > 2,所以方程组无解
inequality

 

(3)一元二次不等式:

  • x2 ≤ 1       解得 x ≥ 1  或  x ≤ –1
  • 2x2 < 32        解得  –4 < x < 4

 

 

4.   不等式与函数

不等式:2x > 4  即2x – 4 > 0, 解得  x > 2

函数:y = 2x – 4, 当 x = 2时 y = 0,当y > 0时,又可得出x > 2

algebra

y = 2x – 4 即y – 2x – 4 = 0 的图像是一条直线,那么y – 2x – 4 > 0 的图像是在直线y – 2x – 4 = 0 左上方的一整块平面区域。同理,y – 2x – 4 < 0 的图像是在直线y – 2x – 4 = 0 右下方的一整块平面区域。

algebra

 

不等式:x2 ≤ 1 即  x2 –1 ≤ 0,   解得 x ≥ 1 或 x ≤ –1

函数:y = x2 –1,当 x = ±1时y = 0, 当y ≤ 0时,又可得出x ≥ 1 或 x ≤ –1

y = x2 –1 的图像是一条抛物线,那么不等式y ≤ x2 –1 的图像是抛物线加上在抛物线下方的一整块平面区域,因为取“≤”,所有图像还包括抛物线。同理,y ≥ x2 –1 的图像是抛物线以及在抛物线上方的一整块平面区域。

algebra