玄数

1.   原理

设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧 上一次任取分点 A  = M₀，M₁，M₂ … … M_i … … M_n–1，M_n = B，并依次连接相邻的分点，得到一内接折线。当分点的数目无限增加，且每一小段 都缩向一点时，如果此折线长 的极限存在，则称此极限为曲线弧 的弧长，并称此曲线弧 是可求长的。

2.  在参数方程中

设曲线弧由参数方程

给出，其中φ (t)、ψ(t) 在 [α，β] 上具有连续导数，t 为参变量，在 [α，β] 上任一小区间[t，t + dt] 的小弧段长度 △s 近似等于弦长 。

△x = φ (t+dt) – φ (t) ≈ dx = φ (t)′ dt

△y = ψ (t+dt) –ψ (t) ≈ dx =ψ(t)′ dt

△s 的近似值（弧微分）及弧长元素为

弧长为

3.   在直角坐标系中

y = f (x)                        ( a ≤ x ≤ b )

使x为参变量，把函数写成参数方程

则弧长为

4.   在极坐标中

曲线弧由极坐标

r = r (θ)               (α ≤ θ ≤ β)

给出，r (θ) 在 [α，β] 上有连续导数，由直接坐标与极坐标的关系可得

可得弧长元素与弧长为

练习：

1. 计算抛物线 y² = 2px 从顶点到这曲线上的一点 M (x, y) 的弧长。

 
2. 求对数螺线 ρ= e^θ 相应于自 θ = 0 到 θ = φ 的一段弧长。

 

 

积分求平面曲线的弧长

分类: 定积分, 微积分 标签: 弧长