2012-05-17
1. 原理
设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧 上一次任取分点 A = M0,M1,M2 … … Mi … … Mn–1,Mn = B,并依次连接相邻的分点,得到一内接折线。当分点的数目无限增加,且每一小段
都缩向一点时,如果此折线长
的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。
2. 在参数方程中
设曲线弧由参数方程
给出,其中φ (t)、ψ(t) 在 [α,β] 上具有连续导数,t 为参变量,在 [α,β] 上任一小区间[t,t + dt] 的小弧段长度 △s 近似等于弦长 。
△x = φ (t+dt) – φ (t) ≈ dx = φ (t)′ dt
△y = ψ (t+dt) –ψ (t) ≈ dx =ψ(t)′ dt
△s 的近似值(弧微分)及弧长元素为
弧长为
3. 在直角坐标系中
y = f (x) ( a ≤ x ≤ b )
使x为参变量,把函数写成参数方程
则弧长为
4. 在极坐标中
曲线弧由极坐标
r = r (θ) (α ≤ θ ≤ β)
给出,r (θ) 在 [α,β] 上有连续导数,由直接坐标与极坐标的关系可得
可得弧长元素与弧长为
练习:
1. 计算抛物线 y2 = 2px 从顶点到这曲线上的一点 M (x, y) 的弧长。
2. 求对数螺线 ρ= eθ 相应于自 θ = 0 到 θ = φ 的一段弧长。
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