积分求平面曲线的弧长 | 玄数

2012-05-17

1.   原理

integral arc
设A、B是曲线弧上的两个端点,在弧 arc上一次任取分点 A  = M0,M1,M2 … … Mi … … Mn–1,Mn = B,并依次连接相邻的分点,得到一内接折线。当分点的数目无限增加,且每一小段 arc都缩向一点时,如果此折线长 折线长的极限存在,则称此极限为曲线弧 的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。

 

2.  在参数方程中

设曲线弧由参数方程

曲线弧参数方程

给出,其中φ (t)、ψ(t) 在 [α,β] 上具有连续导数,t 为参变量,在 [α,β] 上任一小区间[t,t + dt] 的小弧段长度 △s 近似等于弦长 。

△x = φ (t+dt) – φ (t) ≈ dx = φ (t)′ dt

△y = ψ (t+dt) –ψ (t) ≈ dx =ψ(t)′ dt

△s 的近似值(弧微分)及弧长元素为

弧长元素

弧长为

弧长

 

 

3.   在直角坐标系中

y = f (x)                        ( a ≤ x ≤ b )

使x为参变量,把函数写成参数方程

参数方程

则弧长为

弧长

 

 

4.   在极坐标中

曲线弧由极坐标

r = r (θ)               (α ≤ θ ≤ β)

给出,r (θ) 在 [α,β] 上有连续导数,由直接坐标与极坐标的关系可得

直接坐标与极坐标

可得弧长元素与弧长为

integral arc

积分求平面曲线的弧长