1. 元素法
如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件，可考虑用定积分来表达这个量：
（1）. A 是与一个变量x的变化区间 [a，b] 有关的量；
（2）. A 对于区间 [a，b] 具有可加性：如果把区间 [a，b] 分成许多部分空间，则A也相应地分成许多部分量，A 等于所有部分量之和；
（3）. 部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi
如果 △A 能近似地表示为 [a，b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积，就把f (x) dx 成为 A 的元素，记为
dA = f (x) dx
那么 A就是f (x) 在区间 [a，b] 上的定积分
2. 在直角坐标中
（1） 积分区域有 x = a 和x = b 两条直线
求 f (x) = sin x 在 x ∈ [π/6，3π/2] 的范围内的积分
当曲线在 x 轴下方时，定积分在几何上表示面积的负值。
（2） 积分区域是两条曲线相交
求两条抛物线 x = y2 与 y = x2 所围成的图形的面积
首先要求出两条曲线的交点
可得两条抛物线的交点为（0，0）和（1，1），选x为积分变量，则它的变化区间是 [0，1]， 面积元素的高是上曲线（y = √x）减去下曲线（y = x2）
（3） 以y作为积分变量会更方便
求抛物线 y2 = x 与 y = x – 2 所围成的图形的面积
也是求出两条曲线的交点
可得两条抛物线的交点为（1，–1）和（4，2），选y为积分变量，则它的变化区间是 [–1，2]， 面积元素的高是dy，底是右曲线（x = y + 2）减去左曲线（x = y2）
3. 在参数方程中
求椭圆 
所围成的图形的面积
椭圆的参数方程是
椭圆关于两坐标轴对称，只有求出椭圆的上半部与x轴围成的图形的面积，再乘以2，便可得到整个椭圆的面积了。根据定积分换元法，当x从–a到a时，t的变化区间则是从π到0。
4. 在极坐标中，用扇形面积公式
设曲线 r = φ (θ) 及射线θ= α 、θ= β 围成一图形，简称曲边扇形，φ (θ) 在 [α，β] 上连续，且φ (θ) ≥ 0。取极角θ为积分变量，在任一小区间 [θ, θ+dθ] 的窄曲边扇形的面积可以用半径为r = φ (θ)、中心角为dθ的圆扇形的面积来近似代替。
练习：
1. 求抛物线 y = -x2 + 4x – 3 及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。
2. 求摆线 x = a(t – sint), y = a(1 – cost) 的一拱 (0≤t≤2π) 与横轴所围成的图形的面积。
3. 求由抛物线 y2 = 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
