1. 元素法
如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件,可考虑用定积分来表达这个量:
(1). A 是与一个变量x的变化区间 [a,b] 有关的量;
(2). A 对于区间 [a,b] 具有可加性:如果把区间 [a,b] 分成许多部分空间,则A也相应地分成许多部分量,A 等于所有部分量之和;
(3). 部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi
如果 △A 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积,就把f (x) dx 成为 A 的元素,记为
dA = f (x) dx
那么 A就是f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分
2. 在直角坐标中
(1) 积分区域有 x = a 和x = b 两条直线
求 f (x) = sin x 在 x ∈ [π/6,3π/2] 的范围内的积分
当曲线在 x 轴下方时,定积分在几何上表示面积的负值。
(2) 积分区域是两条曲线相交
求两条抛物线 x = y2 与 y = x2 所围成的图形的面积
首先要求出两条曲线的交点
可得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1),选x为积分变量,则它的变化区间是 [0,1], 面积元素的高是上曲线(y = √x)减去下曲线(y = x2)
(3) 以y作为积分变量会更方便
求抛物线 y2 = x 与 y = x – 2 所围成的图形的面积
也是求出两条曲线的交点
可得两条抛物线的交点为(1,–1)和(4,2),选y为积分变量,则它的变化区间是 [–1,2], 面积元素的高是dy,底是右曲线(x = y + 2)减去左曲线(x = y2)
3. 在参数方程中
求椭圆 所围成的图形的面积
椭圆的参数方程是
椭圆关于两坐标轴对称,只有求出椭圆的上半部与x轴围成的图形的面积,再乘以2,便可得到整个椭圆的面积了。根据定积分换元法,当x从–a到a时,t的变化区间则是从π到0。
4. 在极坐标中,用扇形面积公式
设曲线 r = φ (θ) 及射线θ= α 、θ= β 围成一图形,简称曲边扇形,φ (θ) 在 [α,β] 上连续,且φ (θ) ≥ 0。取极角θ为积分变量,在任一小区间 [θ, θ+dθ] 的窄曲边扇形的面积可以用半径为r = φ (θ)、中心角为dθ的圆扇形的面积来近似代替。
练习:
1. 求抛物线 y = -x2 + 4x – 3 及其在点 (0, -3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。
2. 求摆线 x = a(t – sint), y = a(1 – cost) 的一拱 (0≤t≤2π) 与横轴所围成的图形的面积。
3. 求由抛物线 y2 = 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。