积分求平面图形的面积 | 玄数

2012-05-14

1.   元素法

如果一个实际问题中的所求量A符合下列条件,可考虑用定积分来表达这个量:

(1).  A 是与一个变量x的变化区间 [a,b] 有关的量;

(2).  A 对于区间 [a,b] 具有可加性:如果把区间 [a,b] 分成许多部分空间,则A也相应地分成许多部分量,A 等于所有部分量之和;

(3).  部分量 dAi 的近似值可表示为 f (ξ i)△xi

integral element

如果 △A 能近似地表示为 [a,b] 上的一个连续函数在x处的值 f (x) 与dx 的乘积,就把f (x) dx 成为 A 的元素,记为

dA = f (x) dx

那么 A就是f (x) 在区间 [a,b] 上的定积分

integral element

 

2.  在直角坐标中

(1)  积分区域有 x = a 和x = b 两条直线

求 f (x) = sin x 在 x ∈ [π/6,3π/2] 的范围内的积分

sinx的积分

当曲线在 x 轴下方时,定积分在几何上表示面积的负值。

 

 

(2) 积分区域是两条曲线相交

求两条抛物线 x = y2 与 y = x2 所围成的图形的面积

首先要求出两条曲线的交点

两条曲线的交点

可得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1),选x为积分变量,则它的变化区间是 [0,1], 面积元素的高是上曲线(y = √x)减去下曲线(y = x2

两条抛物线的交点为

 

 

(3) 以y作为积分变量会更方便

求抛物线 y2 = x 与 y = x – 2 所围成的图形的面积

也是求出两条曲线的交点

两条曲线的交点

可得两条抛物线的交点为(1,–1)和(4,2),选y为积分变量,则它的变化区间是 [–1,2], 面积元素的高是dy,底是右曲线(x = y + 2)减去左曲线(x = y2

两条抛物线的交点

 

3.   在参数方程中

求椭圆  椭圆所围成的图形的面积

椭圆的参数方程是

椭圆的参数方程

椭圆关于两坐标轴对称,只有求出椭圆的上半部与x轴围成的图形的面积,再乘以2,便可得到整个椭圆的面积了。根据定积分换元法,当x从–a到a时,t的变化区间则是从π到0。

椭圆的面积

 

 

 4.  在极坐标中,用扇形面积公式

设曲线 r = φ (θ) 及射线θ= α 、θ= β 围成一图形,简称曲边扇形,φ (θ) 在 [α,β] 上连续,且φ (θ) ≥ 0。取极角θ为积分变量,在任一小区间 [θ, θ+dθ] 的窄曲边扇形的面积可以用半径为r = φ (θ)、中心角为dθ的圆扇形的面积来近似代替。
扇形面积

积分求平面图形的面积