2012-04-13
1. 设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则有换元公式
例:
(1).
(2).
(3).
(4).
2. 设 x = φ (t) 是单调、可导的函数,并且φ′ (t) ≠ 0。又设 f [φ (t) ] φ′ (t) 具有原函数,则有换元公式
其中 t = φ–1 (x) 是x = φ (t) 的反函数。
例:
3. 定积分的换元法
设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,x = φ (t) 满足以下条件:
(1)φ (a) = α,φ (b) = β
(2)φ (t) 在 [α,β] 上连续可导,且其值域 Rφ ⊂[a,b]
则有
例
可以发现,求出关于t的原函数的表达式 后,直接把t的值代人,不必像不定积分那样,换回x的函数
因为这样步骤又多了。
4. 设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则定积分的换元为
其中 u (a) = α,u (b) = β
例:
练习:
1. 求下列不定积分
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