玄数

1.  设 f (u) 具有原函数，u = φ (x) 可导，则有换元公式

例：

（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

2.   设 x = φ (t) 是单调、可导的函数，并且φ′ (t) ≠ 0。又设 f [φ (t) ] φ′ (t) 具有原函数，则有换元公式

其中 t = φ^–1 (x) 是x = φ (t) 的反函数。

例：

3.  定积分的换元法

设函数 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，x = φ (t) 满足以下条件：

（1）φ (a) = α，φ (b) = β

（2）φ (t) 在 [α，β] 上连续可导，且其值域 Rφ ⊂[a，b]

则有

例

可以发现，求出关于t的原函数的表达式 后，直接把t的值代人，不必像不定积分那样，换回x的函数

因为这样步骤又多了。

4.  设 f (u) 具有原函数，u = φ (x) 可导，则定积分的换元为

其中 u (a) = α，u (b) = β

例：

换元积分法

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