换元积分法 | 玄数

2012-04-13

1.  设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则有换元公式

换元积分法

 

例:

(1).
换元积分法

 

(2).
换元积分法

 

(3).
换元积分法

(4).
换元积分法

 

 

2.   设 x = φ (t) 是单调、可导的函数,并且φ′ (t) ≠ 0。又设 f [φ (t) ] φ′ (t) 具有原函数,则有换元公式

换元积分法

其中 t = φ–1 (x) 是x = φ (t) 的反函数。

 

例:
换元积分法

 

 

3.  定积分的换元法

设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,x = φ (t) 满足以下条件:

(1)φ (a) = α,φ (b) = β

(2)φ (t) 在 [α,β] 上连续可导,且其值域 Rφ ⊂[a,b]

则有

换元积分法

 

换元积分法

可以发现,求出关于t的原函数的表达式 换元积分法后,直接把t的值代人,不必像不定积分那样,换回x的函数

换元积分法

因为这样步骤又多了。

 

 

4.  设 f (u) 具有原函数,u = φ (x) 可导,则定积分的换元为

换元积分法

其中 u (a) = α,u (b) = β

 

例:

换元积分法

换元积分法