反函数 | 玄数

2012-02-14

1.  定义

设函数 f:D → f (D) 是单射,则它存在逆映射 f–1:f (D) → D,称此映射f–1为f 的反函数(Inverse Function)。按此定义,对每个y∈f (D),有唯一的x ∈ D,使得f (x) = y,于是有 f–1 (y) = x

但习惯上用x表示自变量,用y表示因变量。所以,一般 y = f (x),x ∈ D 的反函数记成 y = f–1 (x),x ∈ f (D)反函数f–1的对应法则是完全有函数f的对应法则所确定的。

设原函数y = f (x) 的定义域为A,其值域为B,函数 y = f (x) 的反函数记为:y = f–1 (x) ,互为反函数的两个函数有如下性质:

(1).   若 a∈A,f (a) = b ∈ B,则f–1 (b) = a∈A。反函数y = f–1 (x)的定义域为B,其值域为A

(2).   反函数y = f–1 (x) 的图象与原函数y = f (x) 的图象,关于直线 y = x对称

 

 

2.   反函数的图像

 

(1)一次函数: f (x)  = kx

inverse function


 

(2)反比例函数  f (x)  = 1 / x 的反函数是它本身

反比例函数的反函数

 
 

 

(3)幂函数: f (x)  = xn(n = 2k + 1)

幂函数的反函数

 
 

 

(4)指数函数f (x) = 2x 的反函数是对数函数  f–1 (x) = log2 x

指数函数的反函数

 
 

 

3.   奇偶函数的反函数

若函数y = f (x) 是奇函数(a∈A ),且存在反函数,则y = f–1 (x)也是奇函数;若函数y = f (x) 是偶函数(a∈A ),则它一般不存在反函数

奇偶函数的反函数

 

 

4.   互为反函数的两个函数在其定义域内,具有相同的单调性

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