正弦定理、余弦定理 | 玄数

2012-01-22

1.  正弦定理(Law of Sines)

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等。

law of sines

证明:在△ABC中,CD是AB边上的高,则 CD = a · sinB = b · sinA,可得

law of sines

同理,作其他边上的高又可得

law of sines

 
用另外一种方法来证明:

作△ABC的外接圆,圆心为点O. 连接CO并延长交⊙O于点M,连接BM. 可得∠A = ∠M,则 BC = CM · sinM
即 a = 2r · sinM = 2r · sinA
同理可得 b = 2r · sinB, c = 2r · sinC

一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形(Sloving Triangles)。

 

 

2.   余弦定理(Law of Cosines)

三角形中任何一边的平方 = 其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

a2 = b2 + c2 – 2bc · cosA

b2 = a2 + c2 –2ac · cosB

c2 = a2 + b2 – 2ab · cosC

 

证明:通过向量数量积

Law of Cosines

c = ab

| c | 2 = (ab) · (ab)

= a·a + b·b – 2a·b

= a2 + b2 – 2ab · cosC

 

从余弦定理,可以得到

Law of Cosines

 

 

与正弦定理和余弦定理相关的其他公式 

1.  模尔外得公式:此公式可以对计算结果的验证

模尔外得公式 Mollweide_function

 

2.  设三角形外接圆的半径是R,则 a = 2R sinA, b = 2R sinB, c = 2R sinC

 

3.  law of sines

 

 

练习:

1. △ABC中, ∠C = 30°, 在下列条件中,△ABC有两解的是( )
( A ) a = 5, b = 2
( B ) b = 2, c = 5
( C ) c = 4, a = 3
( D ) a = 4, c = 3

 
2. 解△ABC,
( 1 ) 已知∠A = 30°, b = 8, a = 3.
( 2 ) 已知∠A = 30°, b = 8, a = 4.
( 3 ) 已知∠A = 30°, b = 8, a = 5.

 

3. △ABC中, a = b = c + 2, cosA = 3 / 5, 求a、c.

 

 

正弦定理、余弦定理