函数的极限 | 玄数

2012-02-04

数列 {an} 可看作自变量为n的函数:xn = f (n),n∈N*,所以数列 {an}的极限为a,就是当n→∞时,对应的函数值无限的接近a。现在讨论一般形式的函数f (x) 的极限。 

 

1.  自变量x→x0时函数的极限

如果在x→x0 的过程中,对应的函数值无限的接近常数A,那么称A就是函数f (x) 当x→x0时的极限。

定义:设函数f (x) 在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足 0 < | x – x0 | < δ时,对应的函数值f (x) 都满足不等式 | f (x) – A | < ε,那么称A就是函数f (x) 当x→x0时的极限,记作

函数的极限

或                                                                                f (x)→A (当x→x0

数学符号表达为: ∀ε > 0,∃δ > 0,当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) – A | < ε。 limit function

用图像来表示说明:在直角坐标系中,作出x轴上点x0去心邻域(x0 – δ,x0 + δ);对任意给定的正数ε,作两条平行于x轴的直线:y = A + ε 和y = A – ε,介于两条直线之间是一横条区域。x→x0时函数的极限是A:意为在点x0的去心邻域内所有的点都位于A的横条区域内,即:当0 < | x – x0 | < δ时,有A – ε < f (x) < A + ε。

 

 

2.   左极限、右极限

上述概念中,x是既从x0的左侧也从x0的右侧趋向于x0。若只考虑x仅从x0的左侧趋于x0(x→x0),或者仅从x0的右侧趋于x0(x→x0+),就可得到函数 f (x) 当x→x0左极限右极限。左极限和右极限统称为单侧极限

左极限:∀ε > 0,∃δ > 0,当 x0 – δ < x < x0 时,有 | f (x) – A | < ε。

右极限:∀ε > 0,∃δ > 0,当 x0 < x < x0 + δ时,有 | f (x) – A | < ε。

记作

limit function

或                                                                 f (x0) = A                         f (x0+) = A

函数 f (x) 当x→x0的极限存在的充分必要条件是:左极限、右极限各自存在并相等,即 f (x0) = f (x0+)。如下图,当x→0时f (x) 的极限是不存在的。

sgn

 

 

3.  自变量x→∞时函数的极限

定义:设函数f (x) 当 | x | 大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数N,使得当x满足| x | > N时,对应的函数值f (x) 都满足不等式 | f (x) – A | < ε,那么称A就是函数f (x) 当x→∞时的极限,记作

limit function

或                                                                                     f (x)→A (当x→∞)

数学符号表达为: ∀ε > 0,∃正整数N,当| x | > N时,有 | f (x) – A | < ε

 

 

5.   函数极限的性质:

(1)唯一性:如果 limit function 存在,那么这极限唯一

(2)局部有界性:如果 函数的极限,那么存在常数M > 0 和δ > 0,使得当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) | ≤ M

(3)局部保号性:如果 函数的极限,且A > 0(或A < 0),那么存在常数δ > 0,使得当0 < | x – x0 | < δ时,有 | f (x) | > 0(或f (x) < 0)

(4)函数极限与数列极限的关系:如果极限 limit function存在,{xn} 为函数 f (x) 的定义域内任意收敛于x0 的数列,且满足:xn≠x0(n∈N*),那么相应的函数值数列 { f (xn) } 必收敛,且

limit function

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