玄数

1.   数列的极限 {x_n}、{y_n}

2.   函数的极限

如果 lim f (x) = A，lim g (x) = B，那么

（1） lim [ c f (x) ] = c lim f (x)

（2） lim [ f (x) ± g (x) ] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B

（3） lim [ f (x) · g (x) ] = lim f (x) · lim g (x) = A·B

（4） 若B≠0，则

（5）lim [ f (x) ] ⁿ = [ lim f (x) ] ⁿ

以上法则对于x→x₀（或x→∞）都合适。

3. 复合函数

设 y = f [ g (x) ] 是由y = f (u) 与 u = g (x) 复合而成，f [ g (x) ] 在点x₀的某去心邻域内有定义，若

4.  夹逼准则

（1）如果数列 {x_n}、{y_n}、{z_n} 满足下列条件：

• y_n ≤ x_n ≤ z_n （n = 1，2，3 ……）

（2）x满足 0 < | x – x₀ | < δ（或 | x | > X）时，

• g (x) ≤ f (s) ≤ h (x)
• lim g (x) = A， lim h (x) = A

那么lim f (x) 存在，且lim f (x) = A

（3）单调有界数列必有极限

• 如果数列 {x_n} 满足  x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ …… ≤ x_n–1 ≤ x_n ≤……  就称数列 {x_n} 是单调增加的；
• 又如果数列 {x_n} 满足  x₁ ≥ x₂ ≥ x₃ ≥ …… ≥ x_n–1 ≥ x_n ≥……  就称数列 {x_n} 是单调减少的

在《数列的极限》中介绍过：收敛的数列一定有界。但是，有界的数列不一定收敛。不过，要是数列即有界，又是单调的，那么数列就一定极限存在，也就是一定会收敛。

5.   柯西极限存在准则

数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在这样的正整数N，使得当m > N，n > N 时，

有 | x_n – x_m | < ε

 

 

练习：

1. 计算下列极限：


 
2. 计算下列极限：


 
不会做的看这里

 

 

极限运算法则

分类: 微积分, 极限 标签: 夹逼准则, 极限运算法则, 柯西极限存在准则