极限运算法则 | 玄数

2012-02-06

1.   数列的极限 {xn}、{yn}

数列的极限

 

 

2.   函数的极限

如果 lim f (x) = A,lim g (x) = B,那么

(1) lim [ c f (x) ] = c lim f (x)

(2) lim [ f (x) ± lim g (x) ] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B

(3) lim [ f (x) · lim g (x) ] = lim f (x) · lim g (x) = A·B

(4) 若B≠0,则

函数的极限

(5)lim [ f (x) ] n = [ lim f (x) ] n

以上法则对于x→x0(或x→∞)都合适。

 

3. 复合函数

设 y = f [ g (x) ] 是由y = f (u) 与 u = g (x) 复合而成,f [ g (x) ] 在点x0的某去心邻域内有定义,若

复合函数的极限

 

 

4.  夹逼准则

(1)如果数列 {xn}、{yn}、{zn} 满足下列条件:

  • xn ≤ yn ≤ zn (n = 1,2,3 ……)

夹逼准则

 

(2)x满足 0 < | x – x0 | < δ(或 | x | > X)时,

  • g (x) ≤ f (s) ≤ h (x)
  • lim g (x) = A, lim h (x) = A

那么lim f (x) 存在,且lim f (x) = A

 

(3)单调有界数列必有极限

  • 如果数列 {xn} 满足  x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ …… ≤ xn–1 ≤ xn ≤……  就称数列 {xn} 是单调增加的;
  • 又如果数列 {xn} 满足  x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ …… ≥ xn–1 ≥ xn ≥……  就称数列 {xn} 是单调减少

《数列的极限》中介绍过:收敛的数列一定有界。但是,有界的数列不一定收敛。不过,要是数列即有界,又是单调的,那么数列就一定极限存在,也就是一定会收敛。

 

 

5.   柯西极限存在准则

数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在这样的正整数N,使得当m > N,n > N 时,

有 | xn – xm | < ε