2012-02-06
1. 数列的极限 {xn}、{yn}
2. 函数的极限
如果 lim f (x) = A,lim g (x) = B,那么
(1) lim [ c f (x) ] = c lim f (x)
(2) lim [ f (x) ± g (x) ] = lim f (x) ± lim g (x) = A ± B
(3) lim [ f (x) · g (x) ] = lim f (x) · lim g (x) = A·B
(4) 若B≠0,则
(5)lim [ f (x) ] n = [ lim f (x) ] n
以上法则对于x→x0(或x→∞)都合适。
3. 复合函数
设 y = f [ g (x) ] 是由y = f (u) 与 u = g (x) 复合而成,f [ g (x) ] 在点x0的某去心邻域内有定义,若
4. 夹逼准则
(1)如果数列 {xn}、{yn}、{zn} 满足下列条件:
- yn ≤ xn ≤ zn (n = 1,2,3 ……)
(2)x满足 0 < | x – x0 | < δ(或 | x | > X)时,
- g (x) ≤ f (s) ≤ h (x)
- lim g (x) = A, lim h (x) = A
那么lim f (x) 存在,且lim f (x) = A
(3)单调有界数列必有极限
- 如果数列 {xn} 满足 x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ …… ≤ xn–1 ≤ xn ≤…… 就称数列 {xn} 是单调增加的;
- 又如果数列 {xn} 满足 x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ …… ≥ xn–1 ≥ xn ≥…… 就称数列 {xn} 是单调减少的
在《数列的极限》中介绍过:收敛的数列一定有界。但是,有界的数列不一定收敛。不过,要是数列即有界,又是单调的,那么数列就一定极限存在,也就是一定会收敛。
5. 柯西极限存在准则
数列收敛的充分必要条件是:对于任意给定的正数ε,存在这样的正整数N,使得当m > N,n > N 时,
有 | xn – xm | < ε
练习:
1. 计算下列极限:
2. 计算下列极限:
不会做的看这里
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