数列的极限 | 玄数

2012-01-31

1.   中国古代的极限思想

著名哲学家庄子在《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话, “一尺之棰,日取其半,万世不竭。”这句话的大意是:一尺第的木棒,第一天取去一半,第二天取去剩下的一半,以后 每天都取去昨天剩下一半,这样取下去,永远也取不尽。

这个著名的论断,若用近代数学符号表示,可以得到一个无穷的等比数列{an}:

极限

无论n取多大, 都不为零,但当n无限增大时, 却无限接近于零。

 

2.   极限的概念

两个数a、b的接近程度可以用这两个数之差的绝对值 | b – a | 来度量,| b – a | 越小,a与b就越接近。对于极限

  • 当n = 10 时,极限 = 1/1024 ≈ 0.0009766 < 0.00001
  • 当n = 20 时,极限 = 1/1048576 = 0.0000009537 < 0.00000001
  • 当n = 100 时,极限 = 1/1267650600228229401496703205376 ≈ (1/1.26765) × 10–30 ≈ 7.88860905 × 10–31 < 0.0000000000000000000000000000001  … …

只要n足够大,就可以使得极限小于任何的正数。也就是当n→∞时,| 1/2n – 0 | 可以无限地接近于0。

一般地,不论给定一个多么小的正数ε,总存在一个正整数N,使得当n > N时,| 1/2n – 0 | < ε 都成立,绝对值中所减去的那个0,就是数列an =极限 当n→∞时的极限(Limit)。
 

 

3.   数列极限的定义

设{an}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正整数N,使得当n > N时,| an – a | < ε都成立,那么就称常数a是数列{an}的极限,或者称数列{an}收敛于a(Convergent),记为

limit

或者                                                                                      an→a(n→∞)

定义中ε可以任意给定是很重要的,只有这样,| an – a | < ε 才能表达出an 与 a 无限接近的意思。用图像来表示如下:在数轴上作点a的ε邻域及开区间(a – ε,a + ε)

极限

数学符号表达为:  ∀ε > 0,∃正整数N,当n > N时,有 | an – a | < ε。“∀”表示任意给定,“∃”表示存在

 

如果不存在这样的常数a,就是数列{an}没有极限,或者是数列{an}是发散的(Divergent)。

 

 

4.  等比数列 1,q,q2 …qn 当 | q | < 1时,数列的极限是0。

证明: 设∀ε > 0,| an – a | = | qn – 0 | = | q |n

要是 | an – 0 | < ε ,只要 | q |n < ε

取自然对数得 n ln| q | < lnε

∵              | q | < 1

∴              ln| q | < 0

∴             极限

取N = lnε / ln| q |,则当n > N时,| qn – 0 | < ε

此时也能得到等比数列的求和公式  S = 1 / 1 – q

 

 

5.  收敛数列的性质:

(1)唯一性:如果数列{an}收敛,那么它的极限是唯一的。

(2)有界性:如果数列{an}收敛,那么数列{an}一定有界,即{an}≤M

(3)保号性:如果limit,且a > 0 (或a < 0),那么存在正整数N > 0,当n > N时,都有an > 0 (或an < 0)

(4)如果数列{an}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a。

数列的极限