直线、平面的位置关系 | 玄数

2012-01-07

1.  直线与平面的位置关系只有3种

line plane

  • 直线在平面内 l∈α —— 有无数个公共点
  • 直线与平面相交 l ∩ α = A ——只有一个公共点
  • 直线与平面平行 l // α ——没有公共点

 

2.   直线与平面的位置关系的判定

line plane

  •  平行:平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行

.                           l ⊄ α ,m ⊂ α , l // m     →     l // α

 

  • 垂直:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直

.                           m ⊂ α ,n ⊂ α, m ∩ n = P ,l ⊥ m ,l ⊥ n     →     l ⊥ α

 

 

3.   直线与平面的位置关系的性质

直线与平面平行

  • 平行:一条直线与一平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

.                          l // α ,l ⊂ β, α ∩ β = m     →     l // m

 

  • 垂直:垂直于同一平面的两条直线平行

.                          l ⊥ α ,m ⊥ α     →     l // m

 

 

平面与平面的位置关系

 

1.   平面与平面的位置只有两种

  • 两个平面平行α // β —— 没有公共点
  • 两个平面相交α ∩ β = l —— 有一条公共直线

 

 

2.   平面与平面的位置关系的判定

平面与平面的位置关系

  • 平行:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行

.                         l ⊂ α,m ⊂ α,l ∩ m = P,l // β,m // β     →     α // β

 

  • 垂直:如果一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直

.                         l ⊥ α ,l ⊂ β     →     α ⊥ β

 

 

3.  平面与平面的位置关系的性质

平面与平面的位置关系

  • 平行:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行

.                         α // β ,α ∩ γ = l ,β ∩ γ = m   →   l // m

 

  • 垂直:两平面垂直,则一平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

.                         α ⊥ β ,α ∩ β = m ,l ⊂ β,l ⊥ m   →   l ⊥ α