最新 | 玄数 | Page 20

2017-12-28

如何用程序来绘制正多边形?

正多边形

如图,正五边形ABCDE关于y轴对称,B与E,C与D互为对称点。A的坐标为(0, r)。 半径OA旋转一个内角θ,便是OB,此时B的坐标为(r·sin0, r·cos0)。继续旋转,可以得到OC、OD、OE等半径,坐标求法与OB的一致,只需把对应的角度依次增加(2π/边数)。

 

编程的流程图如下:

 

algorithm regular polygon
(更多…)


2017-11-15

1. 向量的点乘Dot Product(数量积,內积)(Inner Product)

(1)平面向量点乘原理

                             a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                     = x1 x2 i2 +(x1y2 + x2 y1i j + y1 y2 j2

∵                               i =(1,0),j =(0,1)

∴                               i2 =(1,0)·(1,0)= 1,

                                   j2 =(0,1)·(0,1)= 1

                                   ij =(1,0)·(0,1)=0

∴                                a · b = x1x2 + y1y2

 

在n维向量中             a · b = ∑ai·bi

两个向量的点乘 = 他们对应分量乘积的和

 

(2)几何解释
向量点乘 dot product
                                            a · b =(x1i + y1 j)·(x2i + y2 j

.                                                    = (|a|cosαi + |a|sinαj) · (|b|cosβi + |b|sinβj)

.                                                    = |a|·|b|(cosαcosβ + sinαsinβ)

.                                                    = |a|·|b| cos(α-β)

 

(更多…)


2017-11-14

1. 投影

(1)光学定义:用光线照射物体,在一平面上得到的影子叫做物体的投影(Projection),照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。

平行投影(Parallel Projection):由平行光线(例如太阳光)所成的投影。

中心投影(Center Projection):由点光源(比如电灯泡)发出的光线所成的投影。

平行投影

(2)向量在轴上的投影数学定义:

设点O及单位向量e决定u轴,任给向量r,作→OM = r,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M’,点M’就是点M在u轴上的投影。向量O M’称为向量r在u轴上的分向量,设→OM’ = λe,则数λ称为向量r在u轴上的投影,记作Prjur或( r )u

(更多…)


2017-10-08

在《孙子算经》中的鸡兔同笼问题:“今有雉、兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问:雉、兔各几何?” 设鸡有 x 只,兔有 y 只,根据x只鸡有2x只脚,y只兔又4y只脚,列二元二次方程得

孙子算经

(2) – (1) 得

鸡兔同笼

 

对于一般的方程组,设未知数的系数全互质,例如

equation

(1) 式等号两边乘以7,(2) 式等号两边乘以3,借此来消去x2

equation

(1) 式等号两边乘以5,(2) 式等号两边乘以2,借此来消去x21

equation

 

对一般二元线性方程组

记为二阶行列式 second order determinant

把在4个数中,分两组相乘再相减的数表记为二阶行列式second order determinant。 法则为主对角线 – 副对角线
记为二阶行列式 second order determinant
运用二阶行列式为解二元线性方程组带来了方便:分母记为二阶行列式 second order determinant都是相同的,把系数按原来位置排列;分子用 “=” 右边的数b1,b2替换,xi对应替换的数为a1i,a2i

二阶行列式


2017-08-20

《几何三大问题(历史来源)》中阐述了“化圆为方”的来历,也在《几何三大问题(解决)》中解释了不可能的原因:π是一无理数,√π无法用尺规作图来完成。

那假如我们跳出尺规作图这个圈子呢?

《尺规作图和作图公法》中的第16条:作两条已知线段a、b的比例中项(即 a: x = x : b),可知所求的线段满足x2 = ab。若能够使线段a、b的乘积刚好是π,不就可以求出x来了吗?

古代几何学家梁拉多达维奇用来一种令人拍案叫绝的方法:先作一个直圆柱,用已知圆作它的底面,已知圆半径的一半做它的高,然后把这个圆柱测放在平面上滚一周,得到一个长方形。
化圆为方 squaring the circle

 

这个长方形面积就等于已知圆的面积,最后作一正方形,使之面积等于把长方形,便可解决
化圆为方 squaring the circle

化圆为方——非尺规作图


2017-07-01

芝诺是古希腊的数学家、哲学家,他曾提出过关于运动的多个哲学悖论,其中以“阿基里斯追龟”和“飞矢不动”最为著名。

阿基里斯是古希腊神话中的善跑英雄,他与乌龟赛跑,将永远追不上乌龟。
阿基里斯追龟 achilles tortoise
 

假设阿基里斯在A处,而乌龟在T处,T在A的前100米,阿基里斯的速度是乌龟的10倍。
阿基里斯要追上乌龟,必须先跑到乌龟的出发点T;
当他到达T点时,乌龟已前进到了前10米的T1点;
而他到达T1点时,乌龟又前进到了前1米的T2
… …
因此,乌龟总是在阿基里斯的前面,阿基里斯永远都追不上乌龟。

这明显是和我们的日常生活经验相违背的,当乌龟到达T2时,阿基里斯只要迈出一步,便远远的跑过了T3

芝诺的论断问题出在哪儿呢?当时人类只有粗糙的无限概念,数学家曾经错误的认为:无限多个很小的量,其和必为无限大。芝诺的追龟问题,无疑向当时错误的“无限”概念提出了挑战。

因常理告诉我们,阿基里斯是必定能够追上乌龟的,设阿基里斯追上乌龟时,他跑过的路程为

s = 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … …

等比数列的求和公式,当公比|q|< 1时,数列无穷递减,极限为0。可得
芝诺悖论 Zeno paradoxes
由此说明:无限多个很小的量的和,可能是有限的。

芝诺悖论 —— 阿基里斯追龟


2017-04-09

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem”。 毕达哥拉斯是公元前500多年的古希腊数学家,由他创立的毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 —— 万物皆数。毕达哥拉斯在一次宴会中,发现了直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

 
毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem
(更多…)