玄数

1.   什么是对数

2^x = 1/4，   3^x = 2187，   4^x = 256，   5^x = 625，   6^x = 1/216，   7^x = 343，   8^x = 32769，   9^x = 81，   10^x = 1000000.    上面各式中的 x 分别是多少？

当 a > 0，a≠1 时，   a^x = N    ←→    x = log_aN ，x 就是以 a 为底的对数（Logarithm），a 叫做对数的底数，N 叫做真数.  以10为底的对数叫做常用对数（Common  Logarithm），记做 lgN .   以 e （e = 2.071828 … ）为底的对数叫做自然对数（Natural  Logarithm），记做 ln N.

• 2^x = 1/4    ←→    x = log₂（1/4）= -2
• 3^x = 2187    ←→    x = log₃ 2187= 7
• 4^x = 256    ←→    x = log₄ 256= 4
• 5^x = 625    ←→    x = log₅ 625= 4
• 6^x = 2187    ←→    x = log₆ （1/216）= -3
• 7^x = 343    ←→    x = log₇ 343= 3
• 8^x = 32768    ←→    x = log₈ 32768= 5
• 9^x = 81    ←→    x = log₉ 81= 2
• 10^x = 1000000    ←→    x = lg 100000 = 6
• log_a 1 = 0
• log_a a = 1

2.   对数的运算

当 a > 0，a≠1，M > 0，N > 0 时

• log_a （M · N）= log_a M + log_a N
• log_a （M / N）= log_a M – log_a N
• log_a Mⁿ = nlog_a M  （n∈R）

证明：      设  a^m = M， aⁿ = N

∴                   a^m ·  aⁿ=  a^m+n= M · N

又∵              log_a M = m，   log_a N = n

∴                   log_a （M · N）= m + n = log_a M + log_a N

3.  对数的换底公式

分类: 代数, 式 标签: 对数, 底数, 真数, 自然对数