一、 矩阵的加法
两个矩阵A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n, 它们的和记作 A + B。A + B = ( aij + bij) m×n. 是一个二元运算。
矩阵加法满足运算规律:
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
–A = ( -aij ) m×n
A + (-A) = 0 (零矩阵,而不是整数0)
A + 0 = A
A – B = A + (-B)
二、 矩阵的数乘
数乘矩阵满足运算规律:
(kl) A = k(l A)
(k+l) A = kA + lA
k (A + B) = kA + kB
1 A = A
三、 矩阵与矩阵相乘
设A = ( aij ) 是一个m×s矩阵,B = ( bij ) 是一个s×n矩阵,那么A B的乘积是一个m×n矩阵C = ( cij ), 其中
如
只有当左矩阵的列数与右矩阵的行数相同时,才能进行乘法运算。
可以使用下面的图形表达式来帮助记忆
矩阵相乘满足运算规律:
(AB)C = A(BC)
k(AB) = (kA)B = A(kB)
(A + B) C = AC + BC
但矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,AB ≠ BA.
因为交换后,不能保证左矩阵的列数 = 右矩阵的行数;
即使可以,对于矩阵A2×3 和 B3×2, A2×3 B3×2 = C2×2, B3×2 A2×3 = D3×3,相乘后所得的矩阵的行数、列数都不一样;
再尽管都是n阶方阵,还是不行,如
由此可见:
AB = O, 不能推出 A = O或B = O.
AX = AY, 也不能推出X = Y.
当n阶方阵满足AB = BA 时,则称A, B是可交换的。
四、 矩阵与单位矩阵相乘
AE = EA = A
五、 方阵的幂
Ak+l = AkAl
(Ak)l = Akl