玄数

一、 矩阵的加法

两个矩阵A = ( a_ij ) _m×n , B = ( b_ij ) _m×n, 它们的和记作 A + B。A + B = ( a_ij + b_ij) _m×n. 是一个二元运算。

矩阵加法满足运算规律：

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

–A = ( -a_ij ) _m×n

A + (-A) = 0  (零矩阵，而不是整数0)

A + 0 = A

A – B = A + (-B)

二、 矩阵的数乘

数乘矩阵满足运算规律：

(kl) A = k(l A)

(k+l) A = kA + lA

k (A + B) = kA + kB

1 A = A

三、 矩阵与矩阵相乘

设A = ( a_ij ) 是一个m×s矩阵，B = ( b_ij ) 是一个s×n矩阵，那么A B的乘积是一个m×n矩阵C = ( c_ij ), 其中

如

只有当左矩阵的列数与右矩阵的行数相同时，才能进行乘法运算。

可以使用下面的图形表达式来帮助记忆

矩阵相乘满足运算规律：

(AB)C = A(BC)

k(AB) = (kA)B = A(kB)

(A + B) C = AC + BC

 
但矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB ≠ BA.
因为交换后，不能保证左矩阵的列数 = 右矩阵的行数；
即使可以，对于矩阵A_2×3 和 B_3×2， A_2×3 B_3×2 = C_2×2， B_3×2 A_2×3 = D_3×3，相乘后所得的矩阵的行数、列数都不一样；
再尽管都是n阶方阵，还是不行，如

由此可见：
AB = O, 不能推出 A = O或B = O.
AX = AY, 也不能推出X = Y.

当n阶方阵满足AB = BA 时，则称A, B是可交换的。

四、 矩阵与单位矩阵相乘

AE = EA = A

五、 方阵的幂

A^k+l = A^kA^l

(A^k)^l = A^kl

矩阵的运算

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