矩阵的运算 | 玄数

2018-06-21

一、 矩阵的加法

两个矩阵A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n, 它们的和记作 A + BA + B = ( aij + bij) m×n. 是一个二元运算。

matrix addition

矩阵加法满足运算规律:

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A = ( -aij ) m×n

A + (-A) = 0  (零矩阵,而不是整数0)

A + 0 = A

AB = A + (-B)

 

 

二、 矩阵的数乘

matrix multiplied by a number


数乘矩阵满足运算规律:

(kl) A = k(l A)

(k+l) A = kA + lA

k (A + B) = kA + kB

1 A = A

 

 

三、 矩阵与矩阵相乘

A = ( aij ) 是一个m×s矩阵,B = ( bij ) 是一个s×n矩阵,那么A B的乘积是一个m×n矩阵C = ( cij ), 其中
matrix multiplication

matrix multiplication

只有当左矩阵的列数与右矩阵的行数相同时,才能进行乘法运算。

 

可以使用下面的图形表达式来帮助记忆

matrix multiplication

矩阵相乘满足运算规律:

(AB)C = A(BC)

k(AB) = (kA)B = A(kB)

(A + B) C = AC + BC

 
但矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,ABBA.
因为交换后,不能保证左矩阵的列数 = 右矩阵的行数;
即使可以,对于矩阵A2×3B3×2A2×3 B3×2 = C2×2B3×2 A2×3 = D3×3,相乘后所得的矩阵的行数、列数都不一样;
再尽管都是n阶方阵,还是不行,如
矩阵乘法

由此可见:
AB = O, 不能推出 A = OB = O.
AX = AY, 也不能推出X = Y.

当n阶方阵满足AB = BA 时,则称A, B是可交换的。

 

 

四、 矩阵与单位矩阵相乘

AE = EA = A

 

 

五、 方阵的幂

Ak+l = AkAl

(Ak)l = Akl

 

 

矩阵的运算