函数的极值与最值 | 玄数

2012-04-13

1. 极值

设函数 f (x) 在点x0的某邻域 U (x0) 内有定义,如果对于去心邻域内的任一x,有f (x) < f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极大值;如果f (x) > f (x0) ,那么就称f (x0) 是设函数 f (x) 的一个极小值

 

必要条件

设函数 f (x) 在x0处可导,且在x0处取得极值,那么f′ (x) = 0。

也就是说:可导函数的极值点必是它的驻点。但反过来,函数的驻点不一定是极值点。如:f (x) = x3 的导数f′ (x) =3x2,f′ (0) = 0。x = 0 是函数的驻点,但不是极值点。

 

第一充分条件

maxima minima

设函数 f (x) 在 x处连续,且在点 x的某去心邻域(x– δ,x+ δ)内可导。

(1)若 x∈( x– δ,x0 ) 时,f′ (x) > 0,而x∈( x,x+ δ ) 时,f′ (x)< 0,则f (x) 在x0处取得极大值;

(2)若 x∈( x– δ,x0 ) 时,f′ (x) < 0,而x∈( x,x+ δ ) 时,f′ (x)> 0,则f (x) 在x0处取得极小值;

(3)若 x∈(x– δ,x+ δ) 时,f′ (x) 的符号保持不变,则(x) 在x0处没有极值。

 

按照以上定理,可按下列步骤求f (x) 在该区间内的极值点和相应的极值;

(1)求导数f′ (x)

(2)求出f (x) 的所有驻点与不可导点

(3)考察f′ (x) 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点。

 

 

第二充分条件

函数 f (x) 在x0处具有二阶导数,却f′ (x0) = 0,f′′ (x0) ≠ 0,那么

(1)当 f′′ (x0) < 0 时,f (x) 在 x处取得极大值;

(2)当 f′′ (x0) > 0 时,f (x) 在 x处取得极小值

 

补充说明:当f′ (x0) = 0,f′′ (x0) = 0 时,f (x) 在x0处可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值。

 

 

2. 最值

由《闭区间上连续函数的性质》可知:

在闭区间上连续的函数值该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内除有限个点外可导

(1)求出f (x) 在开区间 (a,b) 内的所有驻点与不可导点

(2)计算驻点值,不可导点值,以及端点的函数值f (a) 、f (b)

(3)对上述值进行比较,其中最大的便是f (x) 在闭区间 [a,b] 上的最大值,最小的便是f (x) 在闭区间 [a,b] 上的最小值。

 

 

3.  极值与最值的联系与区别

它们都可以表达为不等式 f (x) < f (x0) , f (x) > f (x0) ,但极值只是针对点x0的某邻域,而最值是相当于整个区间 [a,b] 来说的。在点x0的某邻域是极大值,不见得在整个区间是最大值。

可导函数的极值点必是它的驻点。但反过来,函数的驻点不一定是极值点。

函数的极值与最值