2012-03-12
1. 费马引理（Fermat’s lemma）
设函数f (x) 在点x0 的某邻域U (x0) 内有定义，并且在x0 处可导，如果对任意的x∈U (x0) ，有f (x) ≤ f (x0) （ 或f (x) ≥ f (x0) ），那么f′ (x0) = 0
称导数等于零的点为函数的驻点（Critical Point）（或临界点）。
2. 罗尔定理（Rolle’s Theorem）
如果函数f (x) 满足
（1） 在闭区间 [a，b] 上连续；
（2） 在开区间 (a，b) 内可导；
（3） 在区间端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b)，那么在 (a，b) 内至少有一点 ξ (a < ξ < b) ，使得 f′ (ξ) = 0
3. 拉格朗日中值定理（Lagrange’s Mean Value Theorem）
如果函数f (x) 满足
（1） 在闭区间 [a，b] 上连续；
（2） 在开区间 (a，b) 内可导；
那么在 (a，b) 内至少有一点ξ，使等式 f (b) – f (a) = f′ (ξ) (b – a) 成立
4. 柯西中值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）
如果函数f (x) 和g (x) 满足
（1） 在闭区间 [a，b] 上连续；
（2） 在开区间 (a，b) 内可导；
（3） 对任一x∈(a，b)，g′(x) ≠ 0
那么在 (a，b) 内至少有一点ξ，使以下等式成立
5. 洛必达法则（L’Hopital’s rule）
对于 x→a 和x →∞ 都适用
（1） 函数 f (x) 和 g (x) 都趋于0；
（2） f′ (x) 和 g′ (x) 都存在且g′(ξ) ≠ 0
（3）
存在（或为无穷大），那么
练习：
1. 不用求出函数 f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) 的导数，说明方程 f(x)′= 0 有几个实根，并指出它们所在的区间。
2. 证明方程 x5 + x – 1 = 0 只有一个正根。
3. 求
（n为正整数， λ > 0）
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