1. 费马引理(Fermat’s lemma)
设函数f (x) 在点x0 的某邻域U (x0) 内有定义,并且在x0 处可导,如果对任意的x∈U (x0) ,有f (x) ≤ f (x0) ( 或f (x) ≥ f (x0) ),那么f′ (x0) = 0
称导数等于零的点为函数的驻点(Critical Point)(或临界点)。
2. 罗尔定理(Rolle’s Theorem)
如果函数f (x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等,即 f (a) = f (b),那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ (a < ξ < b) ,使得 f′ (ξ) = 0
3. 拉格朗日中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem)
如果函数f (x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
那么在 (a,b) 内至少有一点ξ,使等式 f (b) – f (a) = f′ (ξ) (b – a) 成立
4. 柯西中值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem)
如果函数f (x) 和g (x) 满足
(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;
(2) 在开区间 (a,b) 内可导;
(3) 对任一x∈(a,b),g′(x) ≠ 0
那么在 (a,b) 内至少有一点ξ,使以下等式成立
5. 洛必达法则(L’Hopital’s rule)
对于 x→a 和x →∞ 都适用
(1) 函数 f (x) 和 g (x) 都趋于0;
(2) f′ (x) 和 g′ (x) 都存在且g′(ξ) ≠ 0
(3) 存在(或为无穷大),那么
练习:
1. 不用求出函数 f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) 的导数,说明方程 f(x)′= 0 有几个实根,并指出它们所在的区间。
2. 证明方程 x5 + x – 1 = 0 只有一个正根。
3. 求 (n为正整数, λ > 0)