微分中值定理 | 玄数

2012-03-12

1.  费马引理(Fermat’s lemma)

设函数f (x) 在点x0 的某邻域U (x0) 内有定义,并且在x0 处可导,如果对任意的x∈U (x0) ,有f (x) ≤ f (x0)  ( 或f (x) ≥ f (x0) ),那么f′ (x0) = 0

称导数等于零的点为函数的驻点(Critical Point)(或临界点)。

 

 

2.  罗尔定理(Rolle’s Theorem)

如果函数f (x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;

(2) 在开区间 (a,b) 内可导;

(3) 在区间端点处的函数值相等,即 f (a) = f (b),那么在 (a,b)  内至少有一点 ξ  (a < ξ < b) ,使得 f′ (ξ) = 0

Rolle Theorem

 

3.  拉格朗日中值定理(Lagrange’s Mean Value Theorem)

如果函数f (x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;

(2) 在开区间 (a,b) 内可导;

那么在 (a,b) 内至少有一点ξ,使等式 f (b) – f (a) = f′ (ξ) (b – a) 成立

mean value theorem

 

4.  柯西中值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem)

如果函数f (x) 和g (x) 满足

(1) 在闭区间 [a,b] 上连续;

(2) 在开区间 (a,b) 内可导;

(3) 对任一x∈(a,b),g′(x) ≠ 0

那么在 (a,b) 内至少有一点ξ,使以下等式成立
柯西中值定理

 

 

5.   洛必达法则(L’Hopital’s rule)

对于 x→a  和x →∞  都适用

(1) 函数 f (x) 和 g (x) 都趋于0;

(2) f′ (x) 和 g′ (x) 都存在且g′(ξ) ≠ 0

(3)L'Hopital's rule 存在(或为无穷大),那么

L'Hopital's rule

微分中值定理