梅森素数 | 玄数

2018-03-19

梅森 Mersenne

马林·梅森(Marin Mersenne 1588 ~ 1648)  是法国大数学家笛卡尔的同学,曾致力于寻找质数公式。1644年,他提出:在形如2n – 1的式子中,存在许多质数。他曾指出以下这些数都是素数:

M2 = 22 – 1

M3 = 23 – 1

M5 = 25 – 1

M7 = 27 – 1

M13 = 213 – 1

M17 = 217 – 1

M19 = 219 – 1

M31 = 231 – 1

M67 = 267 – 1

M127 = 2127 – 1

M257 = 2257 – 1

其中只有M67和M257是错的,其余9个都正确。为了纪念他,后人便将这种类型的素数称为“梅森素数”。

在M257以内,还存在着3个梅森素数,梅森本人没有发现,分别是:

M61 = 261 – 1

M89 = 289 – 1

M107 = 2107 – 1

在笔算的艰辛年代,人类共找到这12个梅森素数。

1952年,美国人第一次用计算机找梅森素数,很快就找到5个。但随着数越来越大,计算机也开始算得越来越艰辛了。

1963年9月6日,当第23个梅森素数“2的11213次方减1”通过大型计算机发现时,美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放,以第一时间发布了这一重要消息;而发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲,以致于把所有从系里发出的信件都盖上了“‘2的11213次方减1’是个素数”的邮戳。

1996年年初,美国数学家和计算机专家乔治·沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序,并把它放在网上供数学家和业余数学爱好者免费使用;它就是举世闻名的GIMPS项目,也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目。只要人们去GIMPS的主页下载那个免费程序,就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。

在去年2017年,人类找到了第50个梅森素数 M77232971 = 277232971 – 1。它是由美国的一位电气工程师乔纳森·佩克Jonathan Pac发现的。日本还为此专门出版了一本书,700多页就只为这个数,售量惊人。

第50个梅森素数

梅森素数的意义 —— 它对密码学有着促进作用。

 

 

梅森素数列表

排序 次方 sn – 1 发现年份
1 2 22 – 1 3 公元前500
2 3 23 – 1 7 公元前500
3 5 25 – 1 31 公元前275
4 7 27 – 1 127 公元前275
5 13 213 – 1 8191 1456
6 17 217 – 1 131,072 1588
7 19 219 – 1 524,287 1588
8 31 231 – 1 2,147,483,647 1772
9 61 261 – 1 2,305,843,009,213,693,951 1883
10 89 289 – 1 618,970,019,642,690,137,449,562,111 1991
11 107 2107 – 1 1.6225957 × 1032 1914
12 127 2127 – 1 1.7014118 × 1038 1876
13 521 2521 – 1 6.8647976 × 10156 1952
14 607 2607 – 1 5.3113799 × 10182 1952
15 1279 21279 – 1 1.0407932 × 10385 1952
16 2203 22203 – 1 1.4759799 × 10663 1952
17 2281 22281 – 1 4.4608755 × 10686 1952
18 3217 23217 – 1 2.5911708 × 10968 1957
19 4253 24253 – 1 1.9079700 × 101280 1961
20 4423 24423 – 1 2.8554254 × 101331 1961
21 9689 29689 – 1 4.8722027 × 102916 1963
22 9941 29941 – 1 3.4608828 × 102992 1963
23 11213 211213 – 1 2.8141120 × 103375 1963
24 19937 219937 – 1 4.3154247 × 106001 1971
25 21701 221701 – 1 4.4867916 × 106532 1978
26 23209 223209 – 1 4.0287411 × 106986 1979
27 44497 244497 – 1 ? × 1013394 1979
28 86243 286243 – 1 ? × 1025925 1982
29 110,503 2110503 – 1 ? × 1033264 1988
30 132,049 2132049 – 1 ? × 1039750 1983
31 216,091 2216091 – 1 ? × 1065049 1985
32 759,839 2759839 – 1 ? × 10227822 1992
33 859,433 2859433 – 1 ? × 10258715 1994
34 1,257,787 21257787 – 1 ? × 10378631 1996
35 1,398,269 21398269 – 1 ? × 10420920 1996
36 2,976,221 22976221 – 1 ? × 10895931 1997
37 3021337 23021337 – 1 ? × 10909525 1998
38 6,972,593 26972593 – 1 ? × 102098959 1999
39 13,446,917 213446917 – 1 ? × 104053946 2001
40 20,996,011 220996011 – 1 ? × 106320429 2003
41 24,036,583 224036583 – 1 ? × 107235732 2004
42 25,964,951 225964951 – 1 ? × 107816229 2005
43 30,402,457 230402457 – 1 ? × 109152051 2005
44 32,582,657 232582657 – 1 ? × 109808357 2006
45 37,156,667 237156667 – 1 ? × 1011185271 2008
46 42,643,801 242643801 – 1 ? × 1012837063 2009
47 43,112,609 243112609 – 1 ? × 1012978188 2008
48 57,885,161 257885161 – 1 ? × 1017425169 2013
49 74,207,281 274207281 – 1 ? × 1022338627 2016
50 77,232,917 277232917 – 1 ? × 1023249424 2017

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