1. 频数和频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数(Frequency),事件A出现的比例fn(A)= nA / n 为事件A出现的频率(Relative Frequency)。
历史上,有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验:
试验者 | 抛掷次数 | 正面向上的次数 | 正面向上的频率 |
棣莫弗 | 2048 | 1061 | 0.518 |
布丰 | 4040 | 2048 | 0.5069 |
费勒 | 10000 | 4979 | 0.4979 |
皮尔逊 | 12000 | 6019 | 0.5016 |
皮尔逊 | 24000 | 12012 | 0.5005 |
2. 概率(Probability)
对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A)。
一般地,如果在一次实验中,有n种可能的结果,并且他们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m 种结果,那么事件A发生的概率P(A) = m/n。
∵ 0 ≤ m ≤ n
∴ 0 ≤ P(A) ≤ 1
当A为必然事件时,P(A) = 1; 当A为不可能事件时,P(A) = 0
概率模型
3. 古典概率模型(Classical Models of Probability)
(1)实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等
基本事件(Elementary Event)的特点:
(1)任何两个基本事件是互斥的
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
如:
- 抛硬币 —— 正反两面的概率都是1/2;
- 投骰子 —— 点数 1、2、3、4、5、6 出现概率都是1/6
4. 几何概率模型(Geometric Models of Probability)
每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积、 体积) 成比例:P(A)=
构成事件A区域的长度( 面积、 体积)
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实验的所有结果所构成的区域的长度( 面积、 体积)
如:玩射镖游戏,射中红色的概率是1/4;射中黄色和黑色的概率都是3/8。
5. 概率的几个基本性质
1. 事件的频数总是小于或等于实验的次数,所有0 ≤ P(A) ≤ 1
2. 在每次实验中,必然事件一定发生,必然事件的概率为1
3. 在每次实验中,不可能事件一定不发生,不可能事件的概率为0
4. 概率加法公式:如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)= P(A)+ P(B)
5. 如果事件A与事件B互为对立事件:则A∪B 为必然事件,P(A∪B)= 1,所有P(A)+ P(B)= 1