概率、概率模型 | 玄数

2012-03-02

1.   频数和频率

在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数(Frequency),事件A出现的比例fn(A)= nA / n 为事件A出现的频率(Relative Frequency)。

 

历史上,有人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验:

试验者 抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的频率
棣莫弗 2048 1061 0.518
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005

 

2.  概率(Probability)

对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A)。

一般地,如果在一次实验中,有n种可能的结果,并且他们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m 种结果,那么事件A发生的概率P(A) = m/n。

∵ 0 ≤ m ≤ n

∴ 0 ≤ P(A) ≤ 1

当A为必然事件时,P(A) = 1; 当A为不可能事件时,P(A) = 0

 

 

概率模型

3.  古典概率模型(Classical Models of Probability)

(1)实验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

(2)每个基本事件出现的可能性相等

 

基本事件(Elementary Event)的特点:

(1)任何两个基本事件是互斥的

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和

 

如:

  • 抛硬币 —— 正反两面的概率都是1/2;
  • 投骰子 —— 点数 1、2、3、4、5、6 出现概率都是1/6

 

 

4.   几何概率模型(Geometric Models of Probability)

每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积、 体积) 成比例:P(A)=

构成事件A区域的长度( 面积、 体积)
————————————————————————————
实验的所有结果所构成的区域的长度( 面积、 体积)

geometric models probability

如:玩射镖游戏,射中红色的概率是1/4;射中黄色和黑色的概率都是3/8。

 

 

5.   概率的几个基本性质

1.  事件的频数总是小于或等于实验的次数,所有0 ≤ P(A) ≤ 1

2.  在每次实验中,必然事件一定发生,必然事件的概率为1

3.  在每次实验中,不可能事件一定不发生,不可能事件的概率为0

4.  概率加法公式:如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)= P(A)+ P(B)

5.  如果事件A与事件B互为对立事件:则A∪B 为必然事件,P(A∪B)= 1,所有P(A)+ P(B)= 1

概率、概率模型