1. 用不等式来判别：
设函数 f(x) 的定义域为D，区间 I∈D，如果对于区间 I 上任意两点x1，x2，
当 x1 < x2 时，恒有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x) 在区间 I上单调增加（Monotonically Increasing）。
当 x1 < x2 时，恒有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x) 在区间 I上单调减少（Monotonically Decreasing）。
单调增加和单调减少的函数称为单调函数（Monotonic Function）。
（1）一次函数f(x) = kx + b，当 k>0 时，函数单调增加；当k<0 时，函数单调减少。
证：函数f(x) 的定义域I是（–∝，+∝），设x1，x2是区间 I 上任意两点，x1 < x2
. f(x1) – f(x2) = (kx1 + b) – (kx2 + b)
. = k (x1 – x2)
. 当 k>0 时，f(x1) – f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，函数单调增加
. 当 k<0 时，f(x1) – f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)，函数单调减少
（2）讨论二次函数f(x) = x2 的单调性
解：函数f(x) 的定义域I是（–∝，+∝），设x1，x2是区间 I 上任意两点，x1 < x2
. f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2)
. 当x1 < x2 < 0时，x1 + x2 <0
. ∴ f(x1) – f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)，函数单调减少
. 当 0≤x1 < x2 时，x1 + x2 >0
. ∴ f(x1) – f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，函数单调增加
2. 用导数来判别：
从上面两图中能看到，当函数在I上是单调增加时，曲线每一点的斜率都是非负的；当函数在I上是单调减少时，曲线每一点的斜率都是非正的。那么，能否反推呢？
设x1，x2是区间 I 上任意两点，x1 < x2
由拉格朗日中值定理得 f(x1) – f(x2) = f′ (ξ) (x1 – x2)
当在I内f′(ξ) 恒大于0时，f(x1) – f(x2) < 0，即 f(x1) < f(x2)，函数单调增加
当在I内f′(ξ) 恒小于0时，f(x1) – f(x2) > 0，即 f(x1) > f(x2)，函数单调减少
定理： 设函数f(x) 在 [a，b] 上连续，在 (a，b) 内可导
（1）如果在 (a，b) 内f′(x) > 0，那么函数 f(x) 在 [a，b] 上单调增加；
（2）如果在 (a，b) 内f′(x) < 0，那么函数 f(x) 在 [a，b] 上单调减少
如，对于f(x) = x2，f′(x) = 2x
当x∈ (–∝，0) 时，f′(x) < 0，函数在 (–∝，0] 内单调减少
当x∈ (0，+∝) 时，f′(x) > 0，函数在 [0，+∝) 内单调增加
还有一点，当x = 0时，f′ (x) = 0，对于导数等于0的点，也应该包含于区间内，不能忽略。不能理解为 “函数在 (–∝，0) 内单调减少” 及 “函数在 (0，+∝) 内单调增加”。
如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) > 0 、f′ (b) > 0，则称那么函数f(x) 在 [a，b] 上严格单调增加 （Strictly Increasing）；
如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) < 0 、f′ (b) < 0，则称那么函数f(x) 在 [a，b] 上严格单调减少 （Strictly Decreasing）。
而导数等于0的点，又刚好可以用来划分区间。除此之外，还有导数不存在的点，也能划分单调区间。
练习：
1. 若函数
在区间(m, 2m+1) 上是单调递增函数, 则实数m的取值范围是 .
2. 函数f(x)对任意的a, b∈R 都有f(a+b) = f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时, f(x)>1.
求证: f(x)是R上的增函数.
3. 讨论函数
(a>0) 的单调性.
4. 讨论函数的单调性.
