1. 用不等式来判别:
设函数 f(x) 的定义域为D,区间 I∈D,如果对于区间 I 上任意两点x1,x2,
当 x1 < x2 时,恒有f(x1) ≤ f(x2),则称函数f(x) 在区间 I上单调增加(Monotonically Increasing)。
当 x1 < x2 时,恒有f(x1) ≥ f(x2),则称函数f(x) 在区间 I上单调减少(Monotonically Decreasing)。
单调增加和单调减少的函数称为单调函数(Monotonic Function)。
(1)一次函数f(x) = kx + b,当 k>0 时,函数单调增加;当k<0 时,函数单调减少。
证:函数f(x) 的定义域I是(–∝,+∝),设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2
. f(x1) – f(x2) = (kx1 + b) – (kx2 + b)
. = k (x1 – x2)
. 当 k>0 时,f(x1) – f(x2) < 0,即f(x1) < f(x2),函数单调增加
. 当 k<0 时,f(x1) – f(x2) > 0,即f(x1) > f(x2),函数单调减少
(2)讨论二次函数f(x) = x2 的单调性
解:函数f(x) 的定义域I是(–∝,+∝),设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2
. f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = (x1 + x2) (x1 – x2)
. 当x1 < x2 < 0时,x1 + x2 <0
. ∴ f(x1) – f(x2) > 0,即f(x1) > f(x2),函数单调减少
. 当 0≤x1 < x2 时,x1 + x2 >0
. ∴ f(x1) – f(x2) < 0,即f(x1) < f(x2),函数单调增加
2. 用导数来判别:
从上面两图中能看到,当函数在I上是单调增加时,曲线每一点的斜率都是非负的;当函数在I上是单调减少时,曲线每一点的斜率都是非正的。那么,能否反推呢?
设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2
由拉格朗日中值定理得 f(x1) – f(x2) = f′ (ξ) (x1 – x2)
当在I内f′(ξ) 恒大于0时,f(x1) – f(x2) < 0,即 f(x1) < f(x2),函数单调增加
当在I内f′(ξ) 恒小于0时,f(x1) – f(x2) > 0,即 f(x1) > f(x2),函数单调减少
定理: 设函数f(x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导
(1)如果在 (a,b) 内f′(x) > 0,那么函数 f(x) 在 [a,b] 上单调增加;
(2)如果在 (a,b) 内f′(x) < 0,那么函数 f(x) 在 [a,b] 上单调减少
如,对于f(x) = x2,f′(x) = 2x
当x∈ (–∝,0) 时,f′(x) < 0,函数在 (–∝,0] 内单调减少
当x∈ (0,+∝) 时,f′(x) > 0,函数在 [0,+∝) 内单调增加
还有一点,当x = 0时,f′ (x) = 0,对于导数等于0的点,也应该包含于区间内,不能忽略。不能理解为 “函数在 (–∝,0) 内单调减少” 及 “函数在 (0,+∝) 内单调增加”。
如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) > 0 、f′ (b) > 0,则称那么函数f(x) 在 [a,b] 上严格单调增加 (Strictly Increasing);
如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) < 0 、f′ (b) < 0,则称那么函数f(x) 在 [a,b] 上严格单调减少 (Strictly Decreasing)。
而导数等于0的点,又刚好可以用来划分区间。除此之外,还有导数不存在的点,也能划分单调区间。
练习:
1. 若函数在区间(m, 2m+1) 上是单调递增函数, 则实数m的取值范围是 .
2. 函数f(x)对任意的a, b∈R 都有f(a+b) = f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时, f(x)>1.
求证: f(x)是R上的增函数.
3. 讨论函数 (a>0) 的单调性.
4. 讨论函数的单调性.