函数的单调性 | 玄数

2012-04-13

1.  用不等式来判别:

设函数 f (x) 的定义域为D,区间 I∈D,如果对于区间 I 上任意两点x1,x2

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≤ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调增加(Monotonically Increasing)。

当 x1 < x时,恒有f (x1) ≥ f (x2),则称函数f (x) 在区间 I上单调减少(Monotonically Decreasing)。

单调增加和单调减少的函数称为单调函数(Monotonic Function)。

 

(1)一次函数f (x) = kx + b,当 k>0 时,函数单调增加;当k<0 时,函数单调减少。

单调函数

证:函数f (x) 的定义域I是(–∝,+∝),设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2

.                                                  f (x1) – f (x2) = (kx1 + b) – (kx2 + b)

.                                                                             = k (x1 – x2)

.                       当 k>0 时,f (x1) – f (x2) < 0,即f (x1) < f (x2),函数单调增加

.                       当 k<0 时,f (x1) – f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2),函数单调减少

 

(2)讨论二次函数f (x) = x2 的单调性

单调函数

解:函数f (x) 的定义域I是(–∝,+∝),设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2

.                                                   f (x1) – f (x2) = x12 – x22

.                                                                              = (x1 + x2) (x1 – x2)

.                       当x1 < x2 < 0时,x1 + x2 <0

.                       ∴ f (x1) – f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2),函数单调减少

.                       当 0≤x1 < x2 时,x1 + x2 >0

.                       ∴ f (x1) – f (x2) < 0,即f (x1) < f (x2),函数单调增加

 

 

2.  用导数来判别:

从图中能看到,当函数在I上是单调增加时,曲线每一点的斜率都是非负的;当函数在I上是单调减少时,曲线每一点的斜率都是非正的。那么,能否反推呢?

设x1,x2是区间 I 上任意两点,x1 < x2

拉格朗日中值定理得 f (x1) – f (x2) = f′ (ξ) (x1 – x2)

当在I内f′(ξ) 恒大于0时,f (x1) – f (x2) < 0,即 f (x1) < f (x2),函数单调增加

当在I内f′(ξ) 恒小于0时,f (x1) – f (x2) > 0,即 f (x1) > f (x2),函数单调减少

 

定理: 设函数f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内可导

(1)如果在 (a,b) 内f′(x) > 0,那么函数 f (x) 在 [a,b] 上单调增加

(2)如果在 (a,b) 内f′ (x) < 0,那么函数 f (x) 在 [a,b] 上单调减少

 

如,对于f (x) = x2,f′(x) = 2x

当x∈ (–∝,0) 时,f′(x) < 0,函数在 (–∝,0] 内单调减少

当x∈ (0,+∝) 时,f′(x) > 0,函数在 [0,+∝) 内单调增加

还有一点,当x = 0时,f′ (x) = 0,对于导数等于0的点,也应该包含于区间内,不能忽略。不能理解为 “函数在 (–∝,0) 内单调减少” 及 “函数在 (0,+∝) 内单调增加”。

如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) > 0 、f′ (b) > 0,则称那么函数f (x) 在 [a,b] 上严格单调增加 (Strictly Increasing);

如果在闭区间上的端点a和b 都有f′ (a) < 0 、f′ (b) < 0,则称那么函数f (x) 在 [a,b] 上严格单调减少 (Strictly Decreasing)。

 

而导数等于0的点,又刚好可以用来划分区间。除此之外,还有导数不存在的点,也能划分单调区间。

函数的单调性

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