n条直线分割平面 | 玄数

2020-10-01

在《归纳》一文中提到:n条直线最多能把平面分成几个区域?绘图把 n 从1到5把平面最多的区分图形画出来,并猜想是 (1 + 2 + 3 + … + n) + 1。到底是否如此呢?如何证明呢?

1 line divide plane
当 n = 1 时,毫无疑问,把平面分成2个区域。2 = 1 + 1。

2 lines divide plane
当 n = 2 时,如果两条直线平行,只能把平面分成3份,此时两直线没有交点。而当两直线相交时,可把平面分成4个区域。1a 和 2a 都是原来的区域1和区域2被直线L2割开而形成的。此时的4等于(1 + 2) + 1。

3 lines divide plane
当 n = 3 时,无论3条直线平行、或者相交于一点、还是有两个交点,都不足以最大的去分割平面。要想获得最大的分割数,就要有尽可能多的交点。当有3个交点时,可把平面分成7份。7等于(1 + 2 + 3) + 1。多加了的3是从区域2、1a和2a被第3条直线分隔开的。

由此也可以推理出当 n = 4 时,最多的区域数是 (1 + 2 + 3 + 4) + 1 = 11。第4条直线从4个相连的区域穿过,可以有多种情况:区域1 – 1a – 2a – 3a,区域2 – 2a – 1a – 3b,区域3 – 3a – 2a – 1a。

4 lines divide plane
4 lines divide plane
4 lines divide plane

1条直线每穿过1个区域就将其分成两份,当n = 0 时,L0 = 1,穿过了k个区域,就使得区域数增加了k个。
假设当Lk = Lk-1 + k 成立,
那么当穿过了k+1个区域,就使得区域数增加了k+1个。Lk+1 = Lk + (k + 1) 同样成立。
所以n条直线最多能把平面分成 (1 + 2 + 3 + … + n) + 1 = n(n + 1)/2 + 1 个区域。

 

 

n条直线分割平面

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