牛顿-莱布尼兹公式 | 玄数

2012-04-13

1.  积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续,则积分上限的函数

积分上限函数

在 [a,b] 上可导,并且它的导数是

积分上限函数的导数

 

用图象来解释如下:定积分可用面积来表示,Newton–Leibniz formula

f (x) 在 [a,x] 上的积分就是图中的阴影部分面积S (x) ,让它继续往上积分△x,可得总面积S (x +△x) 。S (x + △x)–S (x) 就是图中黑色部分的面积,它是一个曲边梯形。现在让△x→0,黑色曲边梯形也就趋近于一个窄矩形,△x是底边,高的极限为

极限

设矩形高是 f (ξ),ξ∈(x,x + △x),当△x→0时,ξ→x,就是说 f (ξ) → f (x)。所以

极限

 

进一步引申为: 原函数 就是f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数。

 

 

2.  牛顿-莱布尼兹公式(Newton–Leibniz Formula):如果 F (x) 是f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数,那么

牛顿-莱布尼兹公式

 

证明:         牛顿-莱布尼兹公式 表示的就是面积S (b)

∵ F (x)是f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数, 牛顿-莱布尼兹公式也是f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数,两个原函数之差是一个常数C,即F (x) – S (x) = C,可得下面几个式子

F (a) – S (a) = C                         (1)
F (b) – S (b) = C                         (2)

∴                                               牛顿-莱布尼兹公式                                     (3)
式中,S (a) = 0,f (x) 在这一点的面积是0
∴                                                                            F (a) = C
代入(3)便得

Newton–Leibniz formula

此式又可写成

Newton–Leibniz formula

 

 

例:

Newton–Leibniz formula

牛顿-莱布尼兹公式