1. 积分上限的函数及其导数
如果函数 f (x) 在区间 [a，b] 上连续，则积分上限的函数
在 [a，b] 上可导，并且它的导数是
用图象来解释如下：定积分可用面积来表示，
f (x) 在 [a，x] 上的积分就是图中的阴影部分面积S (x) ，让它继续往上积分△x，可得总面积S (x +△x) 。S (x + △x)–S (x) 就是图中黑色部分的面积，它是一个曲边梯形。现在让△x→0，黑色曲边梯形也就趋近于一个窄矩形，△x是底边，高的极限为
设矩形高是 f (ξ)，ξ∈(x，x + △x)，当△x→0时，ξ→x，就是说 f (ξ) → f (x)。所以
进一步引申为： 就是f (x) 在 [a，b] 上的一个原函数。
2. 牛顿-莱布尼兹公式（Newton–Leibniz Formula）：如果 F (x) 是f (x) 在 [a，b] 上的一个原函数，那么
证明： 
表示的就是面积S (b)
∵ F (x)是f (x) 在 [a，b] 上的一个原函数， 也是f (x) 在 [a，b] 上的一个原函数，两个原函数之差是一个常数C，即F (x) – S (x) = C，可得下面几个式子
F (a) – S (a) = C （1）
F (b) – S (b) = C （2）
∴ 
（3）
式中，S (a) = 0，f (x) 在这一点的面积是0
∴ F (a) = C
代入（3）便得
此式又可写成
例：
