抛物线 | 玄数

2012-03-08

parabola

1.  抛物线及其标准方程:平面内与一个顶点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线Parabola)。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线

 

去经过点F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K,取FK的中点作为原点,建立平面直角坐标系。设 | KF | = p ( p>0),那么点F的坐标为抛物线,准线l的方程是抛物线。设M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d,则 | MF | = d

抛物线

这就是抛物线的标准方程。

 

2.  抛物线的性质:

抛物线的性质

(1)抛物线 y2 = 2px 关于x轴对称,x2 = 2py关于y轴对称,把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴

(2)抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点

(3)抛物线上点M到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,e = 1。

 

 

练习:

1. 到定点A(3, 5) 与定直线l:2x + 3y – 21 = 0 的距离相等的点的轨迹是()
A. 圆
B. 抛物线
C. 直线
D. 不确定

 
2. 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3, 2)
(2)焦点在直线 x – 2y – 4 = 0 上

 
3. 过抛物线 y² = 2px (p > 0) 的对称轴上一点A(a, 0) (a > 0) 的直线与抛物线相交于M, N 两点,自 M, N 向直线l: x = -a 作垂线,垂直分别是M1, N1
求证:当 a = p/2时,AM1 ⊥ AN1

 

 

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