排列 Permutations | 玄数

2012-02-23

1.   从1、2、3 这3个数字中随机抽出2个数字排列成一个新的数字,一共可以有多少种排列?

排列2位数

 

2.   用1、2、3 这3个数字排列成一个3位数,一共可以有多少种排列?

排列3位数

从图中可以看到,排列成2位数和3位数都是一样的,一共都是6种排法。那时因为当你排列成3位数时,只要把前两位数都确定了,剩下的最后一个数字也就被确定了。

 

3.   从1、2、3、4这4个数字中随机抽出3个数字排列成一个新的数字,一共可以有多少种排列?

排列3位数

4.   用1、2、3、4 这4个数字排列成一个4位数,一共可以有多少种排列?

排列4位数

从图中可以看到,排列成3位数和4位数都是一样的,一共都是24种排法。那时因为当你排列成4位数时,只要把前3位数都确定了,剩下的最后一个数字也就被确定了。

 

5.   用1、2、3 … … n 这n个数字排列成一个n位数,一共可以有多少种排列?

实际上,上面问的3位数和4位数都是通过分步乘法计数原理来分析的,即先确定首位可用多少种方法,再看接下的一位又可用多少种方法 … … 现在有n位数

第 1 步:最高位,可从n个数字中任选一个,有 n 种选法;

第 2 步:次高位,只能从剩下的(n – 1)个数字中任选一个,有(n – 1)种选法;

第 3 步:第3高位,只能从剩下的(n – 2)个数字中任选一个,有(n – 2)种选法;

… …

第(n – 1)步:倒数第二位,只能从剩下的2个数字中任选一个,有 2 种选法;

第 n 步:末位,只能从剩下的最后1个数字中任选一个,只有1种选法;

∴    一共的排列数目有 n(n – 1)(n – 2)… 3 · 2 · 1

 

这正好是从正整数 1 到 n 的连乘积,叫做n的阶乘,用 n!表示:

n!= n(n – 1)(n – 2)… 3 · 2 · 1

另外规定0!= 1

 

2!= 2 · 1 = 2

3!= 3 · 2 · 1 = 6

4!= 4 · 3 · 2 · 1 = 24

5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

6!= 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

7!= 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

8!= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320

9!= 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880

10!= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3628800

 

 

6.  从1、2、3 … … n 这n个数字中随机抽出 k 个数字排列成一个新的数字,一共可以有多少种排列?

 第1步:最高位,可从n个数字中任选一个,有n种选法;

第2步:次高位,只能从剩下的(n – 1)个数字中任选一个,有(n – 1)种选法;

第3步:第3高位,只能从剩下的(n – 2)个数字中任选一个,有(n – 2)种选法;

… …

第k步(末位):前面的(k – 1)个位都排好了,第k位只能从剩下的 n –(k – 1)个数字中任选一个,有(n – k + 1)种选法

 

定义:从 n个不同的的元素中取出 k(k≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做:从 n 个不同的的元素中取出 k 元素的排列数Permutations),有多种表示方法:

nPk  =  nPk  =  P(n,k)= n(n – 1)(n – 2)…(n – k + 1)

n的阶乘实际上就是n个不同元素的全排列

permutations

 

 

排列 Permutations

上一篇

下一篇