函数的间断点 | 玄数

2012-02-18

1.  函数的间断点

函数可以在点 x0 连续,当然也可以在点 x0 不连续

设函数 f (x) 在点 x的某去心邻域内有定义,如果函数 f (x) 有下列三种情况之一:

  1. 在 x = x0 没有定义
  2. 虽在  x = x0 有定义,但 函数的极限不存在
  3. 虽在  x = x0 有定义,且 存在,但函数的极限 ≠ f ( x0)

则函数 f (x) 在点 x为不连续,则 点 x称为函数 f (x) 的不连续点,或间断点(point of Discontinuity)。

 

2.  可去间断点(Removable Discontinuity)

可去间断点

  • 左图中,函数 y 在 x = 1 处是没有定义的
  • 右图中,函数 y 在 x = 1 处有定义,可极限值 ≠ 函数值

 

 

3.  无穷间断点(Infinite  Discontinuity)

无穷间断点

  • y = tan x 在 x = (π/2) + kπ 处没定义,函数的极限是无穷大 ∞
  • y = cot x 在 x =  kπ 处没定义,函数的极限是无穷大 ∞

 

 

4.  振荡间断点(Oscillating Discontinuity)

振荡间断点

 

  • y = sin (1/x) 在 x = 0 处没定义,此时当 x→0时,函数振荡多次

 

 

5.  跳跃间断点(Jump Discontinuity)

跳跃间断点

上图表示的是不大于 x 的最大整数,每到整数点就上升跳跃。