毕达哥拉斯悖论 | 玄数

2017-04-09

勾股定理在西方被称为“毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem”。 毕达哥拉斯是公元前500多年的古希腊数学家,由他创立的毕达哥拉斯学派认为:宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比 —— 万物皆数。毕达哥拉斯在一次宴会中,发现了直角三角形的两直角边的平方和,等于斜边的平方。

 
毕达哥拉斯定理 Pythagorean Theorem

 

可戏剧性的是这一定理的发现,却是毕达哥拉斯学派信仰瓦解的导火线。该学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?或者说,如果这直角三角形的两直角边相等,那么斜边所代表的数是一个怎样的比值呢?

 
根号2 sqrt2

 

最终他发现:现在用 √2来表示的数,是不能用分数来表示的。可这一重大的创新发现,在当时却引起了人们的不满,甚至是恐慌。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,引发了“第一次数学危机”。

 

证明√2是无理数可用反证法,设√2 = m/n,m、n互质,则

.                                                             m2 = 2n2

那么m必是一个偶数,设m = 2k,得

.                                                             4k2 = 2n2

.                                                             n2 = 2k2

此时可得n也是偶数,与m、n互质矛盾

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