二次函数 | 玄数

2011-12-19

1.   二次函数(Quadratic Function):  y = ax2 (a,a ≠ 0)的图像

quadratic function

  • 函数的图像是抛物线
  • a > 0 时,开口向上,有最小值
  • a < 0 时,开口向下,有最大值

 

2.   y = ax2  的对称轴、顶点

(1)  对称轴:  y = ax2  的对称轴是y轴,也就是直线 x = 0

  • 图像向平移h个单位长度,函数的解释式变为  y = a (x – h)2 ,对称轴是直线 x = h
  • 图像向平移h个单位长度,函数的解释式变为  y = a (x + h)2 ,对称轴是直线 x = -h

quadratic function

(2) 顶点:抛物线与对称轴的交点叫做顶点,函数在顶点处取得最大值或最小值

  • y = ax2  的顶点坐标是(0,0)
  • 图像向移动k个单位长度,函数的解释式变为y = ax2 + k
  • 图像向移动k个单位长度,函数的解释式变为y = ax2 – k

函数平移

(3) 总结:  y = a(x – h)2  + k   以直线 x = h 为对称轴,顶点坐标是(h,k).   如:

  • y = 2 (x – 5)2  + 1   以直线 x = 5 为对称轴,顶点坐标是(5,1)
  • y = -1/3 (x + 1)2  + 11   以直线 x = -1 为对称轴,顶点坐标是(-1,11)

 

 3. 二次函数的平移

quadratic function translation

  • 把 y = x2移动3个单位长度,得到 y = (x – 3)2;把 y = (x – 3)2 向移动1个单位长度,得到 y = (x – 3)2 – 1
  • 把 y =- ¼x2 向移动2个单位长度,得到 y = – ¼(x+2)2;把 y = – ¼(x+2)2 向移动½个单位长度,得到 y =- ¼(x+2)2 + ½
  • 把 y = ax2移动k个单位长度,得到 y = a(x – h)2;把 y =  a(x – h)2移动k个单位长度,得到 y =  a(x – h)2 + k。对称轴是 x = h,顶点坐标是 (h,k)

左加右减,上加下减

 

4.   二次函数的一般式  y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)

二次函数

 

5.   二次函数  y = ax2 + bx + c 与 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的联系:

  • 与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 相对应,当 一元二次方程≧ 0 时方程有解
  • 当 一元二次方程≧ 0 时,函数y =  ax2 + bx + c 与x轴有交点

 

6.   函数x轴有交点时的另一种写法    y = a (x – x1) (x – x2),x1 和 x2 分别是两交点的横坐标

函数x轴有交点