有理函数 | 玄数

2012-04-13

rational function

形如这样的函数叫做有理函数(Rational Function)。其中n和m都是非负整数;a0,a1,a2 … an 及 b0,b1,b2 … bm 都是实数,并且a0 ≠ 0,b0 ≠ 0。我们总是假设P (x) 和Q (x) 之间是没有公因式的。当n < m 时,称此有理函数是真分式;当n ≥ m 时,称此有理函数是假分式。利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式和一个真分式之和的形式。

有理函数

 

 

分式的加减法可得

有理函数

 

你如何才能做出逆运算?即有理函数可以分解为什么样的分式之和?

 

1.  首先对分母的多项式进行因式分解,并写出两个或以上的新的分式之和,分式的分母就是进行因式分解后的多项式,分子是待定系数

有理函数

可得           A (x –1) + B (x +1) = –2

 

有两种解法:

(1) 得方程组                     A + B = 0

.                                            – A + B = –2

解得                                        A = 1,B = –1

 

(2) 代入特殊的x值,令 x = 1,得B = –1;令x = –1,得A = 1

 

最后可得出

有理函数

 

 

2.   有理函数 又怎么分解

有理函数

这样就可以了吗?你会发现:

使 A (x –1)2 + Bx = 1 是一件不可能的事情,那还差了什么呢?我们要把最高次幂 x2 消掉,现在引入一个一元二次函数 f (x) = ax2 + bx + c,使

.                                             A (x –1)2 + Bx + f (x)
.                                            = A (x –1)2 + Bx + (ax2 + bx + c)
.                                            =1

成为一件可能的事情,那么f (x) = ax2 + bx + c 应该又是怎么样的呢?注意到分母中 (x –1)还可以分解为 (x – 1) (x – 1),取出其中的一个 (x – 1) 乘以分母原来就有的x,可知 x (x –1) 最高次幂也是2,由此我们尝试一下把所有的因式都写出来

有理函数

 

得  A (x –1)2 + Bx + Cx (x – 1)= 1

代入特殊的x值,令x = 0,得 A = 1;令 x = 1,得 B = 1;把 A、B的值代入上式,又令 x = 2,得 C = –1,所以

有理函数

 

总结:要把分母中含有的所有的因式多项式都写出来,就如 12 = 2×2×3,12有2、3、4、6 这几个因数,那么x (x – 1)2 的所有的因式是 x 、x – 1、(x – 1)2

当分式是有理函数时,

分母的的所有的因式是x 、x – 1、(x – 1)2 和 (x – 1)3,因此要写成

有理函数

 

 

设多项式 Q (x) 在实数范围内能分解成一次因式和二次因式的乘积:

有理函数

分解成新的分式相加时,新的分式的分母要把以下的因式都写出来

有理函数

 

 

3.  有理函数如何分解?

有理函数

这样可以吗?  你又会发现:

使 A (1 + x2) + Bx = 1 也是一件不可能的事情,又差了什么呢?还是最高次幂 x2

那么写成A (1 + x2) + Bx2 = 1 呢?可得 A = 1,B = –1,由此,分式应当如下分解

有理函数

在最高次幂 (1 + x2)上的分子一次单项式Bx。对于这个式子算是满足了,可是不是绝对保险呢?

 

 

4.  如何确定分子的待定系数和多项式

我们把原来分母中的x 改为多项式 (1 + x),即:

有理函数

你再次发现:使 A (1 + x2) + Bx (1 + x) = 1 还是一件不可能的事情,还差了什么呢?因为这样虽然把最高次幂 x2消掉了,可又另外跑出一个Bx 来。怎办啊?我们试下做以下尝试

有理函数

为的是增加 C (1 + x) 来消掉Bx

A (1 + x2) + (Bx + C) (1 + x) = 1

即    (A + B) x2 + (B + C) x + A + C = 1

解方程组有理函数

最后我们可以得到

有理函数

 

∵  1 + x2  在方程 ax2 + bx + c = 0 中 △ = b2 – 4ac < 0 ,无法在进行因式分解了

∴   1 + x2  所在的分式中的分子必须是一次多项式 Bx + C

凡是分母因式 x2 + px + q = 0 中 △  < 0 的,分式中的分子必须是一次多项式 Bx + C

 

 

5.   最后总结

rational function

有理函数