平面直角坐标系 | 玄数

2011-12-02

rectangular coordinate system

1.   平面直角坐标系

平面内两条互相垂直、原点重合的数轴,构成平面直角坐标系(Rectangular Coordinate System)。

  • 水平的数轴是 x轴(x-axis)、或称横轴,取向右为正方向
  • 竖直的数轴是 y轴(y-axis)、或称纵轴,取向上为正方向
  • 两坐标轴的交点是原点

 

2.   坐标

有了原点、x轴、y轴,平面内的任何一个点的位置都给确定了。过这个点分别向 x轴、y轴作垂线,x轴上的垂足a 和 y轴上的垂足b,共同构成了一对有序数对(a,b),它就是这个点的坐标(Coordinate),记作A(a,b)。(a,b)必须是有序的,a 是横坐标,b 是纵坐标,前后不能颠倒。

 

3.   象限

两坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 四个部分,称为象限(Quadrant)。

  • 第一象限:平面的右上部分,A(a,b),a > 0,b > 0
  • 第二象限:平面的左上部分,A(a,b),a < 0,b > 0
  • 第三象限:平面的左下部分,A(a,b),a < 0,b < 0
  • 第四象限:平面的右下部分,A(a,b),a > 0,b < 0
  • 坐标轴的点:不属于任何象限,x轴 A(a,0);y轴 B(0,b);原点 O(0,0)

 

平面直角坐标系的来历 —— 笛卡尔怎么想到坐标轴

笛卡尔(1596 ~ 1650)是法国数学家,1637年,他发表了《几何学》,开始了一个新的数学分支 —— 解析几何学。

1620年,笛卡儿还是一位年轻的士兵,驻于德国乌尔姆小镇。

笛卡儿有一个怪习惯,喜欢躺在床上思考问题。他经常深思如何用代数中的“数”去描述几何中的“形”,用代数中的“计算”去代替几何中的“证明”。在深秋的一个夜晚,他望着射进帐篷的一缕月光,又想起天上的繁星,如何表示这天上每一颗星星的位置呢?当然,可以画一张图,但天上的星星那么多,而且星空也在不断地变化,不好画呀,即使画出来了,当别人要你指出某一颗星星时,你还得拿出整张图来,多不方便。画图不行,能否用几个数字来表示呢?

Descartes coordinate system

也许是白天训练太劳累,今天笛卡儿太疲倦了……

不一会儿,笛卡儿忽然听见一阵脚步声,并且越来越响,是长官来检查军营了。那长官揭开了笛卡儿的被子,将他拉了起来,并把他推出了帐篷。

“长官,今天你怎么啦?”笛卡儿弄不清怎么回事。

“你不是整天在想,要用数字来表示天上星星的位置吗?乘今日夜深人静,我把你叫出来,告诉你一个绝妙的办法。”笛卡儿听完长官这一段话,才放下心来。

长官从身后抽出两支箭,将它们搭成一个“十”字架,并将这“十”字架举过头说:“笛卡儿,你看,我们可把天空看作一个平面,这‘十’字架将平面分成4个部分。假定我这两支箭能射无限远,天上这么多星星,随便哪一颗,只要向这两支箭上分别引出两条垂直线,你就会得出两个数字,这颗星星的位置,不就一清二楚了吗!”

笛卡儿听完后说:“你把我从被窝里拉出来,就说这个?我还以为你有什么新招,画坐标古希腊人就会使用,难就难在交点以下的数字,如何表示?”

长官笑道:“你怎么聪明一世,糊涂一时,将这两支箭的交点定为零,向上向右的为正,向下向左的为负,就可以了。同样,如果我们把乌尔姆镇定在交叉点,为零,那么我们军队行军的位置,不就随时可用两个正负数来表示了吗?”

笛卡儿高兴地拍了一下军官的脑袋:“这真是个好主意!”

这时,笛卡儿兴奋不已,叫着:“终于解决了!”

突然,他觉得有人重重地揍了他一下。这时,笛卡儿才清醒了,原来,刚才只是做了一个梦。不过这个奇特的梦却启动了他的思索,他后来说:“第二天,我开始懂得这惊人发现的基本原理。”

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