正多边形、圆的周长、圆周率π | 玄数

2012-05-12

1.  圆内接正多边形

regular polygon

把一个圆分成相等的一些弧,就可以得到这个圆的内接正多边形(Regular Polygon),这个圆就是正多边形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径(Radius),正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(圆心角,Central Angle),中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(Apothem)。

一个圆的圆周是2π,当边的数目为n时,每一个中心角都是2π / n。半径r、边心距a、边长s 都存在着固定的关系,已知其中的两个,都可由上面的公式求出第三个。

 

 

2.  圆的周长

圆的周长C总是要比直径d的3倍多一点,或者说总是要比半径r的6倍再多一点,这是一个固定的比值,那么它到底是多少呢?如何求出圆的周长呢?

如果我们把圆进行n等分,就可得到圆的内接正n边形。若使 n→∝,那么这个正n边形的周长的极限,就是圆的周长。

下面是把圆分别分成6、12、24、48等份,设圆的半径为r = 1,利用三角函数sin求出正六边形、正十二边形、正二十四边形以及正四十八边形的周长。而且,不妨再多求一步,作半径的垂线与边心距的延长线相交,求出r tan(π/n)。

以下图最直观的正六边形为例,边长AB = 2DB = 2r sin(π/n) = 2sin(360o/n),周长就是2sin(180o/n)·n ,BH = tan(180o/n)。其他正多边形也一样,不再用字母表述。

regular polygon

regular polygon

n 180o/n sin (180o/n) tan (180o/n) 周长 = 2 n·sin (180o/n) 周长与直接的比值 n·sin (180o/n)
6 30 o 0.5 0.57735 6 3
12 15 o 0.258819 0.267949 6.21166 3.10583
24 7.5 o 0.130526 0.131652 6.26526 3.13263
48 3.75 o 0.0654031 0.0655435 6.2787 3.13935
96 1.875 o 0.0372191 0.0327366 6.28206 3.14103
192 0.9375 o 0.0163617 0.0163639 6.2829 3.14145
384 0.46875 o 0.00818114 0.00818141 6.28312 3.14156

 

从图中能看出,当n = 48 时,正四十八边形已经与圆是很接近的了。

 

 

3.  圆周率π

圆的周长与直接的比值 n · sin (180o/n),我们把它叫做圆周率,用字母π来表示。圆的周长 C = πd = 2πr。

在公元前2世纪,古希腊数学家阿基米德(Archimedes)利用圆内切和外切正多边形逼近圆周的方法得到 π。上面求出tan (180o/n) 实际上也就为了求外切正多边形的周长,只不过那时候还没有专门研究三角函数。从上表的数据能看出,当n增大时,sin (180o/n) 和tan (180o/n) 都减小,而且tan (180o/n) 永远大于sin (180o/n),但是,它们之间的差距正一步一步的缩减。当n→∝时,sin (180o/n) 和tan (180o/n) 都→0。

联系等价无穷小,当x→0 时,sin x ~ x  ,tan x ~ x 。所以当n→∝时,sin (180o/n) ~ tan (180o/n)。

我国数学家祖冲之(429 ~ 500)给出圆周率的两个接近分数,约率22 / 7,密率355 / 113,推算出3.1415926 < π < 3.1415927。

 

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