1. 圆内接正多边形
把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形（Regular Polygon），这个圆就是正多边形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径（Radius），正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角（圆心角，Central Angle），中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（Apothem）。
一个圆的圆周是2π，当边的数目为n时，每一个中心角都是2π / n。半径r、边心距a、边长s 都存在着固定的关系，已知其中的两个，都可由上面的公式求出第三个。
2. 圆的周长
圆的周长C总是要比直径d的3倍多一点，或者说总是要比半径r的6倍再多一点，这是一个固定的比值，那么它到底是多少呢？如何求出圆的周长呢？
如果我们把圆进行n等分，就可得到圆的内接正n边形。若使 n→∝，那么这个正n边形的周长的极限，就是圆的周长。
下面是把圆分别分成6、12、24、48等份，设圆的半径为r = 1，利用三角函数sin求出正六边形、正十二边形、正二十四边形以及正四十八边形的周长。而且，不妨再多求一步，作半径的垂线与边心距的延长线相交，求出r tan(π/n)。
以下图最直观的正六边形为例，边长AB = 2DB = 2r sin(π/n) = 2sin(360o/n)，周长就是2sin(180o/n)·n ，BH = tan(180o/n)。其他正多边形也一样，不再用字母表述。
| n | 180o/n | sin (180o/n) | tan (180o/n) | 周长 = 2 n·sin (180o/n) | 周长与直接的比值 n·sin (180o/n) |
| 6 | 30 o | 0.5 | 0.57735 | 6 | 3 |
| 12 | 15 o | 0.258819 | 0.267949 | 6.21166 | 3.10583 |
| 24 | 7.5 o | 0.130526 | 0.131652 | 6.26526 | 3.13263 |
| 48 | 3.75 o | 0.0654031 | 0.0655435 | 6.2787 | 3.13935 |
| 96 | 1.875 o | 0.0372191 | 0.0327366 | 6.28206 | 3.14103 |
| 192 | 0.9375 o | 0.0163617 | 0.0163639 | 6.2829 | 3.14145 |
| 384 | 0.46875 o | 0.00818114 | 0.00818141 | 6.28312 | 3.14156 |
从图中能看出，当n = 48 时，正四十八边形已经与圆是很接近的了。
3. 圆周率π
圆的周长与直接的比值 n · sin (180o/n)，我们把它叫做圆周率，用字母π来表示。圆的周长 C = πd = 2πr。
在公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）利用圆内切和外切正多边形逼近圆周的方法得到 
。上面求出tan (180o/n) 实际上也就为了求外切正多边形的周长，只不过那时候还没有专门研究三角函数。从上表的数据能看出，当n增大时，sin (180o/n) 和tan (180o/n) 都减小，而且tan (180o/n) 永远大于sin (180o/n)，但是，它们之间的差距正一步一步的缩减。当n→∝时，sin (180o/n) 和tan (180o/n) 都→0。
联系等价无穷小，当x→0 时，sin x ～ x ，tan x ～ x 。所以当n→∝时，sin (180o/n) ～ tan (180o/n)。
我国数学家祖冲之（429 ～ 500）给出圆周率的两个接近分数，约率22 / 7，密率355 / 113，推算出3.1415926 < π < 3.1415927。
