尺规作图和作图公法 | 玄数

2012-01-13

1. 尺规作图

 同样一个作图题,由于使用工具的不同,可能作得出图形,也可能作不出图形。在传统的初等几何里,限用无刻度的直尺Ruler和圆规Compass两件作图工具,经过有限次手续,可以完成的作图,叫做尺规作图,或称规矩作图、初等几何作图.

ruler and compass
 

2. 作图公法

 在初等几何里,约定无刻度的直尺和圆规这两件作图工具,具有如下三条功能:

(1)通过两个已知点可作一条直线(用直尺);

(2)已知圆心和半径可作一个圆(用圆规);

(3)两条已知直线,或一已知直线和一已知圆,或两个已知圆,如其相交,可作出其交点(用直尺和圆规)。

 

在初等几何里,我们约定:直尺和圆规可以而且只可以完成以上三条公法的作图。而且,在已知直线上或直线外,均可以任意取点,但所取的点,不得附加任何特殊性质。

作图公法是一种公共约定,是尺规作图理论出发点,用于假定作图的可实施范围.作为作图基础的作图公法,它仅可附和公理,而不能代替公理。

 

 

3.  几何作图的条件

 求作的图形存在与否,与所给定的条件是否得当有密切的关系.正确的作图题所给定的条件,必须满足如下三点

(1)条件要有相容性:在同一个作图题中,所给的诸条件,必须彼此相容,互不矛盾。否则,要求合乎全部条件的图形,必不存在。

(2)条件要有独立性:在同一个作图题中,所给的诸条件,都必须是不能相互推出的。否则,就有多余的条件。

(3)条件要有完备性:在同一个作图题中,所给的诸条件对于作出所求的图形必须是足够的。否则,所求的图形不确定,将有无限多个,成为不定解问题。

如果所给的条件有矛盾,致使所求作的图形,根本不存在,则称之为“无解”。

 

 

4.  几何作图的分类

 确定作图题的解的个数,与题目中对所求图形的位置有关。按所求图形位置的要求不同,可分为如下两类:

(1) 定位作图

如果求作的图形必须作在指定的位置,就叫做定位作图。例如,“给定三角形,求作它的外接圆”。凡定位作图,能作出多少个适合条件的图形,就算有多少个“解”。

 

(2) 活位作图

如果求作的图形没有限制在指定的位置上,就叫做活位作图。这一类又分为两种:

  • 半活位作图。限定在某范图内的作图,但在此范围内作图位置不加限制,这叫做半活位作图。例如,“在定圆内作内接正方形”

 

  • 全活位作图。对于求作的图形的位置,没有任何限制,这叫做全活位作图。例如,“已知三边之长,求作三角形”

 

 

5. 作图成法

 根据作图公法可作出的并且在教材中事先约定的某些作图题,叫做作图成法,或叫做基本作图题。作图成法在解作图题中的作用,类似于几何定理在证明中的作用,可以直接加以引用,不必详细重述其本身的作图过程。

在不同的教材结构中,有不同的作图成法内容。常见的作图成法,有以下内容:

1.  作一条线段等于已知线段.

2.  作一个角等于已知角.

3.  平分已知角.

4.  经过一点作已知直线的垂线.

5.  作已知线段的垂直平分线.

6.  过一点作已知直线的平行线.

7.  已知下面的一个条件,作三角形:①三边;③两边及其夹角;③两角及其夹边.

8.  平分一已知弧.

9.  分一线段成若干等分.

10.  作已知线段的和或差.

11.  作已知角的和或差.

12.  已知弓形的弦长及其所对的圆心角,求作弓形弧.

13.  内分或外分一线段成已知比.

14.  作三条已知线段的第四比例项.

15.  作两条已知线段a、b的第三比例项(即 a : b = b : x).

16.  作两条已知线段a、b的比例中项(即 a: x = x : b).

17.  已知线段a与b,求作线段 x = (a2 + b2)1/2

18.  巳知线段a与b,求作线段 x = (a2 – b2)1/2  (a>b).

在中学平面几何课本里,所讲的基本作图题,通常只是指以上1至6的内容.

将上述作图成法相互结合,可以得到一些较复杂的作图题.

 

 

6.  几何作图的可能性

 如果一个问题能用尺规作出,那么不论解法如何复杂,都是由两种手续陆续合成的,即——

  • 过两点作直线;
  • 已知中心和半径作圆。

一个作图题中必需求出的未知线段,如果能够由若干已知线段经过有限次有理运算及开平方运算作图得到,并且只有这时,这个作图题的求解可以仅用尺规来完成作图,否则不能用尺规作图。

 

解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论:尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方(指正数开平方,并且取正值)所能作出的线段或者点。