集合 | 玄数

2011-12-26

1.   集合的概念

集合(Set)是所有研究对象组成的总体,集合中的每个对象叫做这个集合的元素(Element),集合常用大写的拉丁字母A,B,C … 表示,集合的元素常用小写的拉丁字母a,b,c … 表示。

 

2.   集合的表示方法:

(1) 列举法,把所有的元素一一列举起来,并用花括号 {} 括起来,如A = {0,1,2,3,4,5}
(2) 描述法:用数学符号描述共同特征,在花括号{}内先写上表示这个集合元素的一般符号(及其取值范围),再画上“|”,然后写出元素的共同特征,如:

  • 奇数表示为 E = {x | x = 2k + 1,k ∈ Z}
  • 方程x2 – 1= 0所有实数根组成的集合 A = {x ∈ R | x2 – 1= 0}
  • 大于10 小于100 的所有有理数的集合 B = {x ∈ Q | 10 < x < 100}

 

3.   属于

a ∈ A:表示元素 a 属于集合A ; a ∉ A:表示元素 a 不属于集合A

 

 

4.   集合的元素与排序

集合的元素互不相同,也无序。{1,2,3} = {3,2,1}

 

 

5.  集合间的基本关系

(1)空集(Empty Set): 不含有任何元素的集合,记作Ø

 

(2)全集 U(Universe Set):研究问题中涉及的所有元素

 

(3)A = B:集合A和集合B的元素是一样的。如:A = {1,3,5},B = {1,3,5},A = B

 

(4)A⊆B(B⊇A):读作“A含于B”(B包含A),集合A中任意一个元素都是和集合B的元素,集合A 称为集合B的子集(Subset)。如:A = {1,3,5},B = {1,3,5},A ⊆ B

 

(5)A⊂B(B⊃A):读作“A真含于B”(B真包含A),首先A⊆B,其中存在元素x ∈ B且x ∉ A,集合A 称为集合B的真子集(Proper Subset)。如:A = {1,3,5},B = {1,2,3,5},A ⊂ B

 

(6)A∪B = {x | x ∈ A,或x ∈ B },读作“A并B”,表示由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的并集(Union Set)。如:A = {1,3,5},B = {2,4,6},A∪B = {1,2,3,4,5,6}

 

(7)A∩B = {x | x ∈ A,且x ∈ B },读作“A交B”, 表示由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的交集(Intersection Set)。如:A = {1,3,5},B = {1,2},A∩B = {1}

 

(8)Cu A = {x | x ∈ U,且x ∉ A },由全集U中所有不属于集合A的元素组成解集合称为集合A的补集(Complementary Set)。这是中国教材的写法,国外还有其他写法:~AAc 。如:U = {1,2,3,4,5,6},A = {1,3,5},Cu A = ~A = Ac = {2,4,6}

set theory

 

 

(9)A – B:从集合A中减去集合A与集合B共有的元素。如:A = {1,3,5},B = {1,2},A – B = {3,5}

 

(10)~(A∪B):在全集U中既不是集合A也不是集合B的元素。如:U = {1,2,3,4,5,6},A = {1,3,5},B = {1,2},~(A∪B)= {4,6}

 

(11)~(A∩B):在全集U中不是集合A与集合B的共有元素。如:U = {1,2,3,4,5,6},A = {1,3,5},B = {1,2},~(A∩B)= {2,3,4,5,6}

set theory

 

(i)Ø⊆A:空集是任何集合的子集

(ii)A⊆A:任何一个集合是它本身的子集

(iii)如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C

 

 

5.   常用数集的表示方法:

  • 全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集),记作N
  • 非负整数集内排除0的集,也称正整数集,表示为N*或N+
  • 整数集:记作Z
  • 有理数集:记作Q
  • 实数集:记作R
  • 复数集:记作C