π | 玄数

2017-03-14

3.14是圆周率π的近似值,3月14日便被约定为一年一度的圆周率日。

圆周率是圆周长与直径的比值。π作为圆周率的符号,是由著名数学家欧拉于公元1737年首先使用的。阿基米德曾用“逼近”的思想——不断地扩大正多边形的边数,求出圆周率π满足:π的连分数 。用22/7来代替π,对于人类的日常生活是足够了!所以历史上称22/7为π的“约率”。

在分母小于100的分数中,再也找不到第二个比它更接近π的了!比 更接近π的下一个分数是333/106,而分母小于三万的分数中,最接近π的是355/133,通称“密率”。由我国南北朝时期的数学家祖冲之(429~500)算出。
祖冲之 ZuChongZhi

但这些分数都是有理数,公元1761年,德国数学家兰伯特(Lambert,1728—1777)证明了π是个无理数。

 

任何一个实数都可以表为连分数的形式,它可以通过辗转相除的方法求得。
连分数

一个有限的连分数代表着一个有理数;反过来,一个有理数也一定能通过辗转相除,化为有限的连分数。例如:
连分数

 

从而,把π展成连分数,它一定也是无限的。那么π的连分数又是怎么算的呢?由约率可轻易得到
π的连分数

下一个
π的连分数
x是多少?

 

π的小数点后截取7位3.1415926作为π的近视值,得

π的连分数

 

再下一个
π的连分数

 

接着
π的连分数

但要注意到0.004这个数是有误差的,一点点的误差,倒数会差别很大。所以,要在小数点后截取更多的位数来求3.14159265358979323846
π的连分数

 

π的连分数

π的约率、密率、连分数


2016-06-08

公元 1777 年的一天,法国科学家布丰的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”

布丰投针试验 buffon needle

客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针 2212 次,其中与平行线相交的有 704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率π的近似值!”

π在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为 l,投针的次数为 n,所投的针当中与平行线相交的次数是 m,那么当 n 相当大时有:π≈2ln/dm

上面故事中,针长l恰等于平行线间距离d的一半,所以代入上面公式化简得:π≈n/m

其中的一个证明方法是:找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离 d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为 n 次,那么相交的交点总数必为 2n

现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd 的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有 4 个交点,3 个交点,2个交点,1 个交点,甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说,当长为πd 的铁丝扔下 n 次时,与平行线相交的交点总数应大致为 2n。

现在再来讨论铁丝长为 l 的情形。当投掷次数 n 增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数 m 应当与长度 l 成正比,因而有:m=kl,式中 K 是比例系数。为了求出 K 来,只需注意到,对于 l=πd 的特殊情形,有 m=2n。于是求得k=2n/πd。代入前式就有m≈2ln/πd,从而π≈2ln/dm

这便是著名的布丰公式。

但这个证明有个问题,就是证明的基础:当铁丝的长度一定时,无论什么形状,与线相交,为什么点的总数期望是一样的呢?为什么它们是机会均等的?

布丰投针试验


2015-05-01


2015-02-05

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

 

相关知识:正多边形、圆的周长、圆周率π

圆周率π小数点后1000位


2012-05-12

1.  圆内接正多边形

regular polygon

把一个圆分成相等的一些弧,就可以得到这个圆的内接正多边形(Regular Polygon),这个圆就是正多边形的外接圆。外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径(Radius),正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角(圆心角,Central Angle),中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距(Apothem)。

一个圆的圆周是2π,当边的数目为n时,每一个中心角都是2π / n。半径r、边心距a、边长s 都存在着固定的关系,已知其中的两个,都可由上面的公式求出第三个。

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