几何三大问题 | 玄数

2012-04-13

先重温《尺规作图和作图公法》里的一些规则:

作图公法

在初等几何里,约定无刻度的直尺和圆规这两件作图工具,具有如下三条功能:

(1) 通过两个已知点可作一条直线 (用直尺);

(2) 已知圆心和半径可作一个圆 (用圆规);

(3) 两条已知直线,或一已知直线和一已知圆,或两个已知圆,如其相交,可作出其交点(用直尺和圆规)。

 

几何作图的可能性

如果一个问题能用尺规作出,那么不论解法如何复杂,都是由两种手续陆续合成的,即

  1. 过两点作直线;
  2. 已知中心和半径作圆。

即尺规作图无非就是看:能否通过无刻度的直尺和圆规,经过有限次的步骤,求出题目所要求的一些特定的“点”!由这些“点”来确定相对位置的直线和具体长度的线段。对于几何三大问题中的“化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆”,我们假定一已知圆的半径是1,那它的面积就是π,那我们就是要求一条长π1/2的线段;而对于“三等分任意角”,则是要对任意角都能求出两个点,使它们分别和角点相连,得出两条直线;最后对 “倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍”的问题,假定元立方体的边长为1,无非是要求一条长倍立方的线段。

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