单侧导数 | 玄数

2012-02-12

1.   从割线到切线

如上flash所示,函数f (x) 的图像是红色曲线,在曲线上取一点M,任意作一直线与曲线相交于另一点N,此时MN(紫色线)为割线,MN与x轴的夹角是∠φ。MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,也就是N越来越接近M —— 此时弦长 | MN | 趋于0,∠NMT也趋于0,那么直线MT就是曲线在点M的切线,MT与x轴的夹角是∠α。

 

切线MT的方程

设点M的坐标为(x0,y0),由点斜式可得:y – y0 = k (x – x0),现在研究斜率k怎么求。N(x,y)是曲线上任意一点,割线MN的斜率为

切线的斜率

当N沿曲线趋于M时,x→x0,φ→α。如果当时x→x0,上式的极限存在,设为k,即
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