垂心 | 玄数

2014-08-27

1. 三角形的三条角平分线相交于一点. 这交点叫做三角形的内心 Incenter,即内切圆圆心

三角形圆心 triangle angle bisector

图(1),AD、BE、CF 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的角平分线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

分析:如图(2),设AD、BE 相交于点O,如果直接证明CF也经过点O,会比较困难。反过来,假设CF’是经过点O的随意一条线段,但CF’平分了∠C,也即∠1 = ∠2,那么CF’也就是∠C的角平分线了,那么CF与F’是同一条线段。

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’,过点O作OL⊥BC,OM ⊥AC,ON⊥AB
∵         AD平分∠A,BE平分∠B
∴         OM = ON, ON = OL
∴         OL = OM
∴         Rt△OLC ≌ Rt△OMC
∴        ∠1 = ∠2
∴        CF’ 是∠C的角平分线
∴        CF’与CF重合,即CF’是∠C的角平分线
∴        AD、BE、CF 相交于一点

 

 

2.  三角形的三条中线相交于一点. 这交点叫重心 Center of Gravity.

三角形重心 triangle median

图(3),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的中线
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         BD = DC,  AE = EC
∴          S1 = S2,  S3 = S4
.             S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6        ( 1 )
.             S4 + S2 + S3 = S1 + S5 + S6        ( 2 )
.             ( 1 ) – ( 2 ) 得 S1 = S4
∴          S1 = S2 = S3 = S4
∵          S6 : SAOC = OF’ : OC,  S5 : SBOC = OF’ : OC
∴          S6 : SAOC = S5 : SBOC
∵         SAOC = S1 + S2,  SBOC = S3 + S4
∴         SAOC = SBOC
∴          S6 = S5
∴         AF’ = BF’
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的中线
∴          AD、BE、CF 相交于一点

 

 

3.  三角形的三条高相交于一点. 这交点叫垂心 Orthocenter

三角形垂心 triangle high line

图(5),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的高
求证:AD、BE、CF 相交于一点

证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵         AD⊥BC,  BE⊥AC
∴         A、E、D、B四点共圆,E、O、D、C四点共圆
∴         在圆AEDB中,∠1 = ∠2;  在圆EODC中,∠2 = ∠3
∴         ∠1 = ∠3
.            ∠F’OB 与∠EOC 是对顶角
∴         ∠BF’O = ∠OEC = 90o
∴         CF’⊥AB
∴         CF’与CF重合,即CF’是AB边上的高
∴         AD、BE、CF 相交于一点

 

 

4.  三角形的三条垂直平分线(中垂线)相交于一点. 这交点叫外心 Circumcenter,即外接圆圆心.

三角形外心 triangle perpendicular line

图(7),DL、EM、FN 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的垂直平分线
求证:DL、EM、FN 相交于一点

证明:设DL、EM 相交于点O,过点O作OF’⊥AB于点F’
∵         OD⊥BC,  BD = DC;  OE⊥AC,  AE = EC
∴         OB = OC,  OA = OC
∴         OB = OA
∵         OF’⊥AB
∴         AF’ = BF’
∴          OF’与NF重合,即OF’是AB边上的垂直平分线
∴         DL、EM、FN相交于一点

 

 

三角形的三条角平分线、中线、高、垂直平分线相交于一点