庞加莱猜想 | 玄数

2015-02-16

克雷数学研究所Clay Mathematics Institute (www.claymath.org)在2000年5月24日公布的千禧年大奖难题。设立了七百万美元的大奖基金,解决了每个大题的第一个人都可获得一百万美元的奖励。

这世界七大数学难题分别是:庞加莱猜想、黎曼假设、霍奇猜想、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、P对NP问题、BSD猜想。

 

庞加莱猜想Poincaré Conjecture:

由法国数学家亨利·庞加莱Jules Henri Poincaré在1904年提出的一个拓扑学的猜想:一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点,或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。

此问题已被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

 

黎曼假设Riemann Hypothesis:

德国数学家波恩哈德·黎曼Bernhard Riemann于1859年提出:素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。此问题在1900年巴黎国际数学家代表大会上,已由希尔伯特提出过

 

霍奇猜想Hodge Conjecture:

由英国数学家威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇 William Vallance Douglas Hodge提出,它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。

 

杨-米尔斯理论Yang-Mills:

它又称为规范场理论,由物理学家杨振宁和R.L.米尔斯在1954年首先提出来的。是研究自然界四种相互作用(电磁、弱、强、引力)的基本理论,量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在实验室中得到证实,但没能在数学上严格的方程没有已知的解。

 

纳卫尔-斯托可方程Navier-Stokesequations:

克劳德路易纳维Claude-LouisNavier和乔盖伯利尔斯托克斯命名,是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程,简称N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.纳维建立和1845年由G.G.斯托克斯改进而得名。方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用,能告诉我们液体有多粘。这样,纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡,这在流体力学中有十分重要的意义。

 

P对NP问题 The P versus NP problem:

Steve Cook于1971年提出。“P/NP问题”,这里的P指多项式时间(Polynomial),一个复杂问题如果能在多项式时间内解决,那么它便被称为P问题,这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(Nondeterministic Polynomial),一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决,假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决,也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard,如围棋便是一个NP-hard问题。

 

BSD猜想:

全称贝赫和斯维纳通戴尔猜想Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture。给定一个整体域上的阿贝尔簇,猜想它的莫代尔群的秩等于它的L函数在1处的零点阶数,且它的L函数在1处的泰勒展开的首项系数与莫代尔群的有限部分大小、自由部分体积、所有素位的周期以及沙群有精确的等式关系。

 

相关知识:希尔伯特23个数学问题

21世纪七大数学难题