正五边形 | 玄数

2015-02-21

如何尺规作图作正五边形?
正五边形 right pentagon

  1. 在⊙O中取一直径MN,作一直线OA⊥MN交⊙O于点A
  2. 取半径ON的中点P(作ON的垂直平分线)
  3. 连接AP,以P为圆心,|AP|为半径作一圆弧交OM于点Q,连接AQ,则|AQ|即为正五边形的边长
  4. 以|AQ|为半径作圆弧与⊙O相交于四点B、C、D、F ,则ABCDF即为所求的正五边形

 

证明:

设⊙O的半径为r,由《正多边形、圆的周长、圆周率π》知正五边形的边长为 2r*sin(π/5)。根据上述第3点“|AQ|即为正五边形的边长”,即要证 AQ = 2r*sin(π/5)

 

(1)在等腰△APQ中,AP = PQ。由 余弦定理 得,

余弦定理

 

(2)证2rsin(π/5)

即证

sin(π/5)

作一等腰△ABC,∠A =36o,∠B=∠C =72o,作∠B的角平分线BD交AC于点D。设BC长为a,AB、AC长均为b。
等腰△
∵                                 ∠ABD = ∠DBC = 1/2∠ABC = 36o , ∠BDC = 180 o – ∠DBC – ∠C = 72o

∴               ∠A = ∠ABD,∠BDC = ∠C

∴               AD = BD = BC = a

余弦定理
cosA =

∵               △ABC ∽ △ BDC

∴               CD = a2/b = b – a, 由此得方程

b2 - ab - a2 = 0

∵               ∠A =36o

∴               cosA > 0

sin(π/5)

由此得证

正五边形的画法,含证明