统一方程 | 玄数

2012-04-23

1.  曲线的描绘

已知点F是平面上的一个定点,l是平面上不过点F的一条定直线,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e。求点M的轨迹方程,并绘图观察它属于什么形状。

 

解:取定点F为原点,过点F并垂直于直线l的直线为x轴,过点F并垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系。设M(x,y)为曲线上的任意一点,并设直线l的方程是 x = –p。过点M作MH⊥l,H为垂足。则

点M到点F的距离是 | MF | =

点M到直线l的距离是 | MH | = | x + p |,

由题意可知 | MF | = e | MH |,所以可得曲线的轨迹方程为

 = e | x + p |

两边平方,化简得

(1 – e2) x2 + y2 – 2pe2x – p2e2 = 0

 

 

对e分三种情况讨论:

(1)0 < e < 1:

令 e = 2/3,p = 3,代人 = e | x + p |,取若干个特殊点,描点作图,曲线的形状是椭圆


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