1. 三角形的三条角平分线相交于一点. 这交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心
图(1),AD、BE、CF 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的角平分线
求证:AD、BE、CF 相交于一点
分析:如图(2),设AD、BE 相交于点O,如果直接证明CF也经过点O,会比较困难。反过来,假设CF’是经过点O的随意一条线段,但CF’平分了∠C,也即∠1 = ∠2,那么CF’也就是∠C的角平分线了,那么CF与F’是同一天线段。
证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’,过点O作OL⊥BC,OM ⊥AC,ON⊥AB
∵ AD平分∠A,BE平分∠B
∴ OM = ON, ON = OL
∴ OL = OM
∴ Rt△OLC ≌ Rt△OMC
∴ ∠1 = ∠2
∴ CF’ 是∠C的角平分线
∴ CF’与CF重合,即CF’是∠C的角平分线
∴ AD、BE、CF 相交于一点
2. 三角形的三条中线相交于一点. 这交点叫重心.
图(3),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的中线
求证:AD、BE、CF 相交于一点
证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵ BD = DC, AE = EC
∴ S1 = S2, S3 = S4
. S1 + S2 + S3 = S4 + S5 + S6 ( 1 )
. S4 + S2 + S3 = S1 + S5 + S6 ( 2 )
. ( 1 ) – ( 2 ) 得 S1 = S4
∴ S1 = S2 = S3 = S4
∵ S6 : S△AOC = OF’ : OC, S5 : S△BOC = OF’ : OC
∴ S6 : S△AOC = S5 : S△BOC
∵ S△AOC = S1 + S2, S△BOC = S3 + S4
∴ S△AOC = S△BOC
∴ S6 = S5
∴ AF’ = BF’
∴ CF’与CF重合,即CF’是AB边上的中线
∴ AD、BE、CF 相交于一点
3. 三角形的三条高相交于一点. 这交点叫垂心.
图(5),AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的高
求证:AD、BE、CF 相交于一点
证明:设AD、BE 相交于点O,连接CO交AB于点F’
∵ AD⊥BC, BE⊥AC
∴ A、E、D、B四点共圆,E、O、D、C四点共圆
∴ 在圆AEDB中,∠1 = ∠2; 在圆EODC中,∠2 = ∠3
∴ ∠1 = ∠3
. ∠F’OB 与∠EOC 是对顶角
∴ ∠BF’O = ∠OEC = 90o
∴ CF’⊥AB
∴ CF’与CF重合,即CF’是AB边上的高
∴ AD、BE、CF 相交于一点
4. 三角形的三条垂直平分线(中垂线)相交于一点. 这交点叫外心,即外接圆圆心.
图(7),DL、EM、FN 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的垂直平分线
求证:DL、EM、FN 相交于一点
证明:设DL、EM 相交于点O,过点O作OF’⊥AB于点F’
∵ OD⊥BC, BD = DC; OE⊥AC, AE = EC
∴ OB = OC, OA = OC
∴ OB = OA
∵ OF’⊥AB
∴ AF’ = BF’
∴ OF’与NF重合,即OF’是AB边上的垂直平分线
∴ DL、EM、FN相交于一点