玄数

1. 三角形的三条角平分线相交于一点. 这交点叫做三角形的内心 Incenter，即内切圆圆心

图（1），AD、BE、CF 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的角平分线
求证：AD、BE、CF 相交于一点

分析：如图（2），设AD、BE 相交于点O，如果直接证明CF也经过点O，会比较困难。反过来，假设CF’是经过点O的随意一条线段，但CF’平分了∠C，也即∠1 = ∠2，那么CF’也就是∠C的角平分线了，那么CF与F’是同一条线段。

证明：设AD、BE 相交于点O，连接CO交AB于点F’，过点O作OL⊥BC，OM ⊥AC，ON⊥AB
∵         AD平分∠A，BE平分∠B
∴         OM = ON, ON = OL
∴         OL = OM
∴         Rt△OLC ≌ Rt△OMC
∴        ∠1 = ∠2
∴        CF’ 是∠C的角平分线
∴        CF’与CF重合，即CF’是∠C的角平分线
∴        AD、BE、CF 相交于一点

2.  三角形的三条中线相交于一点. 这交点叫重心 Center of Gravity.

图（3），AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的中线
求证：AD、BE、CF 相交于一点

证明：设AD、BE 相交于点O，连接CO交AB于点F’
∵         BD = DC,  AE = EC
∴          S₁ = S₂,  S₃ = S₄
.             S₁ + S₂ + S₃ = S₄ + S₅ + S₆        ( 1 )
.             S₄ + S₂ + S₃ = S₁ + S₅ + S₆        ( 2 )
.             ( 1 ) – ( 2 ) 得 S₁ = S₄
∴          S₁ = S₂ = S₃ = S₄
∵          S₆ : S_△AOC = OF’ : OC,  S₅ : S_△BOC = OF’ : OC
∴          S₆ : S_△AOC = S₅ : S_△BOC
∵         S_△AOC = S₁ + S₂,  S_△BOC = S₃ + S₄
∴         S_△AOC = S_△BOC
∴          S₆ = S₅
∴         AF’ = BF’
∴         CF’与CF重合，即CF’是AB边上的中线
∴          AD、BE、CF 相交于一点

3.  三角形的三条高相交于一点. 这交点叫垂心 Orthocenter

图（5），AD、BE、CF 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的高
求证：AD、BE、CF 相交于一点

证明：设AD、BE 相交于点O，连接CO交AB于点F’
∵         AD⊥BC,  BE⊥AC
∴         A、E、D、B四点共圆，E、O、D、C四点共圆
∴         在圆AEDB中，∠1 = ∠2；  在圆EODC中，∠2 = ∠3
∴         ∠1 = ∠3
.            ∠F’OB 与∠EOC 是对顶角
∴         ∠BF’O = ∠OEC = 90^o
∴         CF’⊥AB
∴         CF’与CF重合，即CF’是AB边上的高
∴         AD、BE、CF 相交于一点

4.  三角形的三条垂直平分线（中垂线）相交于一点. 这交点叫外心 Circumcenter，即外接圆圆心.

图（7），DL、EM、FN 分别是△ABC中BC、AC、AB边上的垂直平分线
求证：DL、EM、FN 相交于一点

证明：设DL、EM 相交于点O，过点O作OF’⊥AB于点F’
∵         OD⊥BC,  BD = DC;  OE⊥AC,  AE = EC
∴         OB = OC,  OA = OC
∴         OB = OA
∵         OF’⊥AB
∴         AF’ = BF’
∴          OF’与NF重合，即OF’是AB边上的垂直平分线
∴         DL、EM、FN相交于一点

 

 

三角形的三条角平分线、中线、高、垂直平分线相交于一点

分类: 三角形, 几何 标签: 内心, 垂心, 外心, 重心