Abel | 玄数

2013-08-18
  • 1802—1829年,挪威
  • 英年早逝,但却为他起了最高数学奖

阿贝尔  Abel
翻开近世数学的教科书和专门著作,阿贝尔这个名字是屡见不鲜的:阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性,等等。很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起。然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者,只活了短短的27年。尤其可悲的是,在他生前,社会并没有给他的才能和成果以公正的承认。

自16世纪以来,随着三次、四次方程陆续解出,人们把目光落在五次方程的求根公式上,然而近300年的探索一无所获,阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式,解决了这个世纪难题,在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像,这是一个大无畏的青年的形象,他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。

在中学的最后一年,阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题,不久便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方,但他知道这个许多大数学家都解决不出的问题不会这么简单的解决出来,于是给了阿贝尔一些可贵的忠告,希望他再仔细演算自己的推导过程。就在同时,阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益的打击,把他推上了正确的途径,使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次方程不可解,而那已经是他十九岁时的事情了。

后来数学上把这个结果称为阿贝尔-鲁芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要,便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫穷,为了减少印刷费,他把结果紧缩成只有六页的小册子。 

阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家,包括德国被称为数学王子的高斯,希望能得到一些反应。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。但看来高斯并未重视这篇论文,因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。

椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪,从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分,这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性,椭圆积分就是如此得名的。19世纪初,椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得(A.M.Legen-dre,1752-1833)。他研究这个题材长达40年之久,他从前辈工作中引出许多新的推断,组织了许多常规的数学论题,但他并没有增进任何基本思想,他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔,使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色,开拓了“柳暗花明”的前途。

阿贝尔高屋建瓴,势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质,找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K,证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理,借助于这一定理,又将椭圆函数拓广到整个复域,并因而发现这些函数是双周期的,这是别开生面的新发现;他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分,并获得了这方面的一个关键性定理,即著名的阿贝尔基本定理,它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数,则是不久后由黎曼(B.Riemann,1826-1866)首先提出并加以深入研究的。事实上,阿贝尔发现了一片广袤的沃土,他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕,用埃尔米特(Hermite)的话来说,阿贝尔留下的后继工作,“够数学家们忙上五百年”。阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。

1826年7月,阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家,他们全都彬彬有礼地接待他,然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作。他通过正常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言,然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中,究竟放在什么地方,竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世,失踪的论文原稿才重新找到,而论文的正式发表,则迁延了12年之久。

但阿贝尔最终毕竟还是幸运的,他回挪威后一年里,欧洲大陆的数学界渐渐了解了他。可是最终的还是惋惜:阿贝尔病情恶化,1829年4月6日晨,这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。死后两天,克雷勒的一封信寄到,告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。损失是难以估计的,如果阿贝尔活到应的的寿命,他又将要做出多少新的贡献啊!

为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年,挪威政府于2003年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项的奖金高达80万美元,相当于诺贝尔奖的奖金,是世界上奖金最高的数学奖。

在此之前,国际数学界的最高荣誉是从1936年开始颁发的菲尔茨奖。菲尔茨奖每四年一度,获奖者取得得奖成果时的年龄不得超过40岁,到目前为止仅有42位数学家获此殊荣,奖金额却只有阿贝尔奖的二百分之一——1500美元。

阿贝尔 Abel