1. f (x) 是任意的函数，如f (x) = ex，f (x) = logax，f (x) = sinx，f (x) = arctanx … … 能否找出一个n次多项式：
pn (x) = k0 + k1 (x – a) + k2 (x – a)2 + k3 (x – a)3 … … + kn (x – a)n （1）
来近似地表示f (x) ，要求 | f (x) – pn (a) | 是比 (x – a)n 高阶的无穷小。
设 f (x) 在含有a的开区间内具有直到（n+1）阶导数，假设pn (x) 在a处的函数值，以及它到n阶导数在a处的值依次相等，即：
f (a) = pn (a) = k0
f′(a) = p′n (a) = k1 + 2k2 (x – a) + 3k3 (x – a)2 … … + nkn (x – a)n–1
f′′ (a) = p′′n (a) = 2k2 + 2 · 3k3 (x – a) + 3 · 4k3 (x – a)2… … + n · (n –1)kn (x – a)n–2
f′′′ (a) = p′′′n (a) = 2 · 3k3 + 2 · 3 · 4k3 (x – a)… … + n · (n –1) · (n –2)kn (x – a)n–3
… …
f (n) (a) = p(n)n (a) = 1 · 2 · 3 · …… · n · kn = n! · kn
∵ 所求的函数值及导数值都是在a处
∴ x – a = 0，即上面各等式中蓝色部分的和全都等于0
可得
将这些系数代入（1）式得
泰勒中值定理（Taylor’s theorem）：如果函数f (x) 在含有a的开区间内具有直到（n+1）阶导数，则对此区间内的任一x，有
Rn (x) 称为拉格朗日余项，ξ 是 a 与x 之间的某个值。
Rn (x) = o [(x – a)n]， 是比 (x – a)n 高阶的无穷小。
当n = 0 时，泰勒中值定理就成了拉格朗日中值定理
f (x) = f (a) + f′(ξ)(x – a)
2. 麦克劳林公式（Maclaurin formula）；取 a = 0，则 0 < ξ < a，令ξ = θx（0 < θ < 1），使泰勒公式变成较简单的形式：
3. f (x) = ex 的n阶麦克劳林公式
f′(x) = f′′ (x) = f ′′′(x) = … … = f (n) (x) = ex
f′(0) = f′′ (0) = f ′′′(0) = … … = f (n) (0) = 1
当 n = 10 时，可算出 e ≈ 2.718282
练习：
1. 求函数 f(x) = ln x 按 (x – 2) 的幂展开的 n 阶泰勒公式。
2. 已知函数 f(x) = excos x，证明：当 x > -1 时，f(x) > (1+x)sin x – √2 ex.
