泰勒公式 | 玄数

2012-04-13

1.  f (x) 是任意的函数,如f (x) = ex,f (x) = logax,f (x) = sinx,f (x) = arctanx … … 能否找出一个n次多项式:

pn (x) = k0 + k1 (x – a) + k2 (x – a)2 + k3 (x – a)3 … … + kn (x – a)n             (1)

来近似地表示f (x) ,要求 | f (x) – pn (a) | 是 (x – a)n 高阶的无穷小

 

设 f (x) 在含有a的开区间内具有直到(n+1)阶导数,假设pn (x) 在a处的函数值,以及它到n阶导数在a处的值依次相等,即:

f (a) = pn (a) = k0

f′(a) = p′n (a) = k1 + 2k2 (x – a) + 3k3 (x – a)2 … … + nkn (x – a)n–1

f′′ (a) = p′′n (a) = 2k2 + 2 · 3k3 (x – a) + 3 · 4k3 (x – a)2… … + n · (n –1)kn (x – a)n–2

f′′′ (a) = p′′′n (a) = 2 · 3k3 + 2 · 3 · 4k3 (x – a)… … + n · (n –1) · (n –2)kn (x – a)n–3

 

… …

f (n) (a) = p(n)n (a) = 1 · 2 · 3 ·  …… · n · k = n! · kn

 

∵            所求的函数值及导数值都是在a处

∴           x – a = 0,即上面各等式中蓝色部分的和全都等于0

可得

泰勒公式

将这些系数代入(1)式得泰勒公式

 

 

泰勒中值定理(Taylor’s theorem):如果函数f (x) 在含有a的开区间内具有直到(n+1)阶导数,则对此区间内的任一x,有

Taylor theorem

Rn (x) 称为拉格朗日余项,ξ 是 a 与x 之间的某个值。

Rn (x) = o [(x – a)n], 是 (x – a)n 高阶的无穷小

 

当n = 0 时,泰勒中值定理就成了拉格朗日中值定理

f (x) = f (a) + f′(ξ)(x – a)

 

 

2.  麦克劳林公式(Maclaurin formula);取 a = 0,则 0 < ξ < a,令ξ = θx(0 < θ < 1),使泰勒公式变成较简单的形式:Maclaurin formula

 

3.  f (x) = ex 的n阶麦克劳林公式

f′(x) = f′′ (x) = f ′′′(x) = … … = f (n) (x) = ex

f′(0) = f′′ (0) = f ′′′(0) = … … = f (n) (0) = 1

 

麦克劳林公式

 

当 n = 10 时,可算出 e ≈ 2.718282

泰勒公式